MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsym Structured version   Unicode version

Theorem cnvsym 5210
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvsym  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem cnvsym
StepHypRef Expression
1 alcom 1783 . 2  |-  ( A. y A. x ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R
)  <->  A. x A. y
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
2 relcnv 5204 . . 3  |-  Rel  `' R
3 ssrel 4926 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5 vex 2973 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 2973 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 5020 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
8 df-br 4291 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
97, 8bitr3i 251 . . . 4  |-  ( x R y  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
10 df-br 4291 . . . 4  |-  ( y R x  <->  <. y ,  x >.  e.  R
)
119, 10imbi12i 326 . . 3  |-  ( ( x R y  -> 
y R x )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
12112albii 1611 . 2  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  <->  A. x A. y ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
131, 4, 123bitr4i 277 1  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1367    e. wcel 1756    C_ wss 3326   <.cop 3881   class class class wbr 4290   `'ccnv 4837   Rel wrel 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-br 4291  df-opab 4349  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846
This theorem is referenced by:  dfer2  7100
  Copyright terms: Public domain W3C validator