MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvso Structured version   Unicode version

Theorem cnvso 5536
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvso  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem cnvso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpo 5535 . . 3  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
2 ralcom 3004 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
3 vex 3098 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 vex 3098 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 5175 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
6 equcom 1780 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
74, 3brcnv 5175 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 6, 73orbi123i 1187 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
982ralbii 2875 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
102, 9bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) )
111, 10anbi12i 697 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) ) )
12 df-so 4791 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
13 df-so 4791 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 277 1  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 973   A.wral 2793   class class class wbr 4437    Po wpo 4788    Or wor 4789   `'ccnv 4988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-po 4790  df-so 4791  df-cnv 4997
This theorem is referenced by:  wofib  7973  oemapso  8104  cflim2  8646  fin23lem40  8734  gtso  9669  infmxrcl  11518  infmxrlb  11535  infmxrgelb  11536  xrinfm0  11538  limsupval  13278  ramval  14507  ramcl2lem  14508  imasdsfn  14892  imasdsval  14893  nmoval  21199  metdsval  21328  ovolval  21862  ovolf  21870  xrge0infssd  27557  tosglb  27635  xrsclat  27645  xrge0iifiso  27894  omsfval  28242  oms0  28243  inffz  29085  welb  30202  fourierdlem42  31820
  Copyright terms: Public domain W3C validator