MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsn Structured version   Unicode version

Theorem cnvsn 5484
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvsn.1  |-  A  e. 
_V
cnvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cnvsn  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvsn
StepHypRef Expression
1 cnvcnvsn 5478 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  `' { <. A ,  B >. }
2 cnvsn.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 cnvsn.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
42, 3relsnop 5100 . . 3  |-  Rel  { <. B ,  A >. }
5 dfrel2 5450 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. B ,  A >. }  <->  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
64, 5mpbi 208 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. }
71, 6eqtr3i 2493 1  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   {csn 4022   <.cop 4028   `'ccnv 4993   Rel wrel 4999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-br 4443  df-opab 4501  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002
This theorem is referenced by:  op2ndb  5485  cnvsng  5487  f1osn  5846  1sdom  7714  ex-cnv  24823
  Copyright terms: Public domain W3C validator