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Theorem cnvrcl0 36303
Description: The converse of the reflexive closure is equal to the closure of the converse. (Contributed by RP, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnvrcl0  |-  ( X  e.  V  ->  `' |^| { x  |  ( X  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) }  =  |^| { y  |  ( `' X  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y
) )  C_  y
) } )
Distinct variable groups:    x, y, V    x, X, y

Proof of Theorem cnvrcl0
StepHypRef Expression
1 cnvresid 5663 . . . . . . 7  |-  `' (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  =  (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) )
2 cnvnonrel 36265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( X  \  `' `' X )  =  (/)
3 cnv0 5245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' (/)  =  (/)
42, 3eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( X  \  `' `' X )  =  `' (/)
54dmeqi 5041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  `' ( X  \  `' `' X )  =  dom  `' (/)
6 df-rn 4850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( X  \  `' `' X
)  =  dom  `' ( X  \  `' `' X )
7 df-rn 4850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (/)  =  dom  `' (/)
85, 6, 73eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( X  \  `' `' X
)  =  ran  (/)
9 0ss 3766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  C_  `' y
10 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  C_  `' y  ->  ran  (/)  C_  ran  `' y )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (/)  C_  ran  `' y
128, 11eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  ( X  \  `' `' X
)  C_  ran  `' y
13 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( X  \  `' `' X )  C_  ran  `' y  <->  ( ran  `' y  u.  ran  ( X 
\  `' `' X
) )  =  ran  `' y )
1412, 13mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  `' y  u.  ran  ( X  \  `' `' X ) )  =  ran  `' y
15 rnun 5250 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  =  ( ran  `' y  u. 
ran  ( X  \  `' `' X ) )
16 dfdm4 5032 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  y  =  ran  `' y
1714, 15, 163eqtr4ri 2504 . . . . . . . . . 10  |-  dom  y  =  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )
184rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  `' ( X  \  `' `' X )  =  ran  `' (/)
19 dfdm4 5032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( X  \  `' `' X
)  =  ran  `' ( X  \  `' `' X )
20 dfdm4 5032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  ran  `' (/)
2118, 19, 203eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( X  \  `' `' X
)  =  dom  (/)
22 dmss 5039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  C_  `' y  ->  dom  (/)  C_  dom  `' y )
239, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (/)  C_  dom  `' y
2421, 23eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( X  \  `' `' X
)  C_  dom  `' y
25 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( X  \  `' `' X )  C_  dom  `' y  <->  ( dom  `' y  u.  dom  ( X 
\  `' `' X
) )  =  dom  `' y )
2624, 25mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  `' y  u.  dom  ( X  \  `' `' X ) )  =  dom  `' y
27 dmun 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  =  ( dom  `' y  u. 
dom  ( X  \  `' `' X ) )
28 df-rn 4850 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  y  =  dom  `' y
2926, 27, 283eqtr4ri 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ran  y  =  dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )
3017, 29uneq12i 3577 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  y  u.  ran  y
)  =  ( ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  u. 
dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) )
3130equncomi 3571 . . . . . . . 8  |-  ( dom  y  u.  ran  y
)  =  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  u. 
ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) )
3231reseq2i 5108 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  u. 
ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) ) )
331, 32eqtr2i 2494 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X 
\  `' `' X
) )  u.  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) ) )  =  `' (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) )
34 cnvss 5012 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  ->  `' (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  `' y )
3533, 34syl5eqss 3462 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  ->  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  u.  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) ) ) 
C_  `' y )
36 ssun1 3588 . . . . 5  |-  `' y 
C_  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )
3735, 36syl6ss 3430 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  ->  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  u.  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) ) ) 
C_  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) )
38 dmeq 5040 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  ->  dom  x  =  dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) )
39 rneq 5066 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  ->  ran  x  =  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) )
4038, 39uneq12d 3580 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  -> 
( dom  x  u.  ran  x )  =  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  u. 
ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) ) )
4140reseq2d 5111 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  -> 
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  u.  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) ) ) )
42 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  ->  x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) )
4341, 42sseq12d 3447 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  -> 
( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x  <->  (  _I  |`  ( dom  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) )  u.  ran  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X
) ) ) ) 
C_  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) ) )
4437, 43syl5ibr 229 . . 3  |-  ( x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) )  -> 
( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) )
4544adantl 473 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  x  =  ( `' y  u.  ( X  \  `' `' X ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) ) 
C_  y  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) 
C_  x ) )
46 cnvresid 5663 . . . . . 6  |-  `' (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
47 dfdm4 5032 . . . . . . . . 9  |-  dom  x  =  ran  `' x
48 df-rn 4850 . . . . . . . . 9  |-  ran  x  =  dom  `' x
4947, 48uneq12i 3577 . . . . . . . 8  |-  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( ran  `' x  u.  dom  `' x )
5049equncomi 3571 . . . . . . 7  |-  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( dom  `' x  u.  ran  `' x )
5150reseq2i 5108 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  =  (  _I  |`  ( dom  `' x  u.  ran  `' x ) )
5246, 51eqtr2i 2494 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  `' x  u.  ran  `' x ) )  =  `' (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )
53 cnvss 5012 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  x  ->  `' (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  `' x )
5452, 53syl5eqss 3462 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  x  ->  (  _I  |`  ( dom  `' x  u.  ran  `' x ) )  C_  `' x )
55 dmeq 5040 . . . . . . 7  |-  ( y  =  `' x  ->  dom  y  =  dom  `' x )
56 rneq 5066 . . . . . . 7  |-  ( y  =  `' x  ->  ran  y  =  ran  `' x )
5755, 56uneq12d 3580 . . . . . 6  |-  ( y  =  `' x  -> 
( dom  y  u.  ran  y )  =  ( dom  `' x  u. 
ran  `' x ) )
5857reseq2d 5111 . . . . 5  |-  ( y  =  `' x  -> 
(  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  =  (  _I  |`  ( dom  `' x  u.  ran  `' x ) ) )
59 id 22 . . . . 5  |-  ( y  =  `' x  -> 
y  =  `' x
)
6058, 59sseq12d 3447 . . . 4  |-  ( y  =  `' x  -> 
( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y 
<->  (  _I  |`  ( dom  `' x  u.  ran  `' x ) )  C_  `' x ) )
6154, 60syl5ibr 229 . . 3  |-  ( y  =  `' x  -> 
( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x  ->  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) )
6261adantl 473 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  `' x
)  ->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) 
C_  x  ->  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) ) 
C_  y ) )
63 dmeq 5040 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  ->  dom  x  =  dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) )
64 rneq 5066 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  ->  ran  x  =  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) )
6563, 64uneq12d 3580 . . . 4  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  -> 
( dom  x  u.  ran  x )  =  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  u. 
ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) ) ) )
6665reseq2d 5111 . . 3  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  -> 
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) ) )
67 id 22 . . 3  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  ->  x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) ) )
6866, 67sseq12d 3447 . 2  |-  ( x  =  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x  <->  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )
69 ssun1 3588 . . 3  |-  X  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )
7069a1i 11 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) )
71 dmexg 6743 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  dom  X  e.  _V )
72 rnexg 6744 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ran  X  e.  _V )
73 unexg 6611 . . . . 5  |-  ( ( dom  X  e.  _V  /\ 
ran  X  e.  _V )  ->  ( dom  X  u.  ran  X )  e. 
_V )
7471, 72, 73syl2anc 673 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( dom  X  u.  ran  X
)  e.  _V )
7574resiexd 6147 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) )  e.  _V )
76 unexg 6611 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) )  e.  _V )  ->  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  e. 
_V )
7775, 76mpdan 681 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  e.  _V )
78 dmun 5047 . . . . . 6  |-  dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  =  ( dom  X  u.  dom  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )
79 ssun1 3588 . . . . . . 7  |-  dom  X  C_  ( dom  X  u.  ran  X )
80 dmresi 5166 . . . . . . . 8  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) )  =  ( dom  X  u.  ran  X )
8180eqimssi 3472 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X )
8279, 81unssi 3600 . . . . . 6  |-  ( dom 
X  u.  dom  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X )
8378, 82eqsstri 3448 . . . . 5  |-  dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X )
84 rnun 5250 . . . . . 6  |-  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  =  ( ran  X  u.  ran  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )
85 ssun2 3589 . . . . . . 7  |-  ran  X  C_  ( dom  X  u.  ran  X )
86 rnresi 5187 . . . . . . . 8  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) )  =  ( dom  X  u.  ran  X )
8786eqimssi 3472 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X )
8885, 87unssi 3600 . . . . . 6  |-  ( ran 
X  u.  ran  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X )
8984, 88eqsstri 3448 . . . . 5  |-  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X )
9083, 89pm3.2i 462 . . . 4  |-  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X )  /\  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X ) )
91 unss 3599 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X )  /\  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X ) )  <-> 
( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )  u. 
ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X ) )
92 ssres2 5137 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  u. 
ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X )  -> 
(  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )
9391, 92sylbi 200 . . . 4  |-  ( ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) )  C_  ( dom  X  u.  ran  X )  /\  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) 
C_  ( dom  X  u.  ran  X ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )
94 ssun4 3591 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) ) )  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) ) )
9590, 93, 94mp2b 10 . . 3  |-  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )  u. 
ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom 
X  u.  ran  X
) ) ) ) )  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) )
9695a1i 11 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (  _I  |`  ( dom  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X ) ) )  u.  ran  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) ) ) )  C_  ( X  u.  (  _I  |`  ( dom  X  u.  ran  X
) ) ) )
9745, 62, 68, 70, 77, 96clcnvlem 36301 1  |-  ( X  e.  V  ->  `' |^| { x  |  ( X  C_  x  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  x
) }  =  |^| { y  |  ( `' X  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y
) )  C_  y
) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   |^|cint 4226    _I cid 4749   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-1st 6812  df-2nd 6813
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