Theorem cnvpo 4427

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation.

Assertion

Ref	Expression
cnvpo	|- (R Po A <-> `'R Po A)

Proof of Theorem cnvpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2219	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
2	1	ralbii 2127	. . . . . . 7 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
3		r19.26 2219	. . . . . . 7 |- (A.x e. A (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.z e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
4		ralidm 2973	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A -. xRx)
5		rzal 2970	. . . . . . . . . . 11 |- (A = (/) -> A.x e. A -. xRx)
6		rzal 2970	. . . . . . . . . . 11 |- (A = (/) -> A.x e. A A.z e. A -. xRx)
7		pm5.1 740	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A -. xRx) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
8	5, 6, 7	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (A = (/) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
9		r19.3rzv 2962	. . . . . . . . . . 11 |- (A =/= (/) -> (-. xRx <-> A.z e. A -. xRx))
10	9	ralbidv 2123	. . . . . . . . . 10 |- (A =/= (/) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
11	8, 10	pm2.61ine 2089	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx)
12	4, 11	bitr2i 191	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A A.z e. A -. xRx <-> A.x e. A A.x e. A -. xRx)
13	12	anbi1i 539	. . . . . . 7 |- ((A.x e. A A.z e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
14	2, 3, 13	3bitri 194	. . . . . 6 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
15		r19.26 2219	. . . . . 6 |- (A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
16	14, 15	bitr4i 193	. . . . 5 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
17		r19.26 2219	. . . . . . 7 |- (A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> (A.z e. A -. z`'Rz /\ A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
18		id 73	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> z = x)
19	18, 18	breq12d 3351	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> (zRz <-> xRx))
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21	20, 20	brcnv 4144	. . . . . . . . . . 11 |- (z`'Rz <-> zRz)
22	19, 21	syl5bb 591	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> (z`'Rz <-> xRx))
23	22	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (-. z`'Rz <-> -. xRx))
24	23	cbvralv 2280	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A -. z`'Rz <-> A.x e. A -. xRx)
25		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
26	20, 25	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . 12 |- (z`'Ry <-> yRz)
27		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
28	25, 27	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . 12 |- (y`'Rx <-> xRy)
29	26, 28	anbi12i 540	. . . . . . . . . . 11 |- ((z`'Ry /\ y`'Rx) <-> (yRz /\ xRy))
30		ancom 482	. . . . . . . . . . 11 |- ((yRz /\ xRy) <-> (xRy /\ yRz))
31	29, 30	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- ((z`'Ry /\ y`'Rx) <-> (xRy /\ yRz))
32	20, 27	brcnv 4144	. . . . . . . . . 10 |- (z`'Rx <-> xRz)
33	31, 32	imbi12i 205	. . . . . . . . 9 |- (((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx) <-> ((xRy /\ yRz) -> xRz))
34	33	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx) <-> A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz))
35	24, 34	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((A.z e. A -. z`'Rz /\ A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
36	17, 35	bitr2i 191	. . . . . 6 |- ((A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
37	36	ralbii 2127	. . . . 5 |- (A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
38		ralcom 2242	. . . . 5 |- (A.x e. A A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
39	16, 37, 38	3bitri 194	. . . 4 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
40	39	ralbii 2127	. . 3 |- (A.y e. A A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.y e. A A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
41		ralcom 2242	. . 3 |- (A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.y e. A A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
42		ralcom 2242	. . 3 |- (A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> A.y e. A A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
43	40, 41, 42	3bitr4i 200	. 2 |- (A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
44		df-po 3591	. 2 |- (R Po A <-> A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
45		df-po 3591	. 2 |- (`'R Po A <-> A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
46	43, 44, 45	3bitr4i 200	1 |- (R Po A <-> `'R Po A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   =/= wne 2017  A.wral 2105  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   Po wpo 3589  `'ccnv 3985

This theorem is referenced by:  cnvso 4428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-po 3591  df-cnv 4002

Copyright terms: Public domain