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Theorem cnvpo 5374
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpo  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )

Proof of Theorem cnvpo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2848 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
2 ralidm 3782 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
3 rzal 3780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  -.  x R x )
4 rzal 3780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
53, 42thd 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
6 r19.3rzv 3772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  x R x  <->  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
76ralbidv 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
85, 7pm2.61ine 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
92, 8bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x )
109anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
111, 10bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
12 r19.26 2848 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1312ralbii 2738 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
14 r19.26 2848 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
16 r19.26 2848 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
17 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
1817, 17brcnv 5021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R z  <->  z R
z )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
2019, 19breq12d 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z R z  <->  x R x ) )
2118, 20syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z `' R z  <-> 
x R x ) )
2221notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z `' R z  <->  -.  x R x ) )
2322cbvralv 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
24 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2517, 24brcnv 5021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
26 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2724, 26brcnv 5021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2825, 27anbi12ci 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  <->  ( x R y  /\  y R z ) )
2917, 26brcnv 5021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
3028, 29imbi12i 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3130ralbii 2738 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3223, 31anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
3316, 32bitr2i 250 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3433ralbii 2738 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
35 ralcom 2880 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3634, 35bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3715, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3837ralbii 2738 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
39 ralcom 2880 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
40 ralcom 2880 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4138, 39, 403bitr4i 277 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
42 df-po 4640 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
43 df-po 4640 . 2  |-  ( `' R  Po  A  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4441, 42, 433bitr4i 277 1  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    =/= wne 2605   A.wral 2714   (/)c0 3636   class class class wbr 4291    Po wpo 4638   `'ccnv 4838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-br 4292  df-opab 4350  df-po 4640  df-cnv 4847
This theorem is referenced by:  cnvso  5375  fimax2g  7557  fin23lem40  8519  isfin1-3  8554
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