Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Unicode version

Theorem cnvordtrestixx 23312
 Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1
cnvordtrestixx.2
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ordTop t ordTop
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14365 . . . . . . 7
2 tsrps 14346 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6
4 ledm 14362 . . . . . . 7
54psrn 14334 . . . . . 6
63, 5ax-mp 8 . . . . 5
7 df-rn 4716 . . . . 5
86, 7eqtri 2316 . . . 4
9 cnvtsr 14347 . . . . . 6
101, 9ax-mp 8 . . . . 5
1110a1i 10 . . . 4
12 cnvordtrestixx.1 . . . . 5
1312a1i 10 . . . 4
14 simpl 443 . . . . . . . . . 10
15 brcnvg 4878 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . 9
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10
20 brcnvg 4878 . . . . . . . . . 10
2117, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2216, 21anbi12d 691 . . . . . . . 8
23 ancom 437 . . . . . . . . 9
2423a1i 10 . . . . . . . 8
2522, 24bitrd 244 . . . . . . 7
2625rabbidva 2792 . . . . . 6
2712, 18sseldi 3191 . . . . . . . 8
2812, 14sseldi 3191 . . . . . . . 8
29 iccval 10711 . . . . . . . 8
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7
31 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8
3231ancoms 439 . . . . . . 7
3330, 32eqsstr3d 3226 . . . . . 6
3426, 33eqsstrd 3225 . . . . 5
3534adantl 452 . . . 4
368, 11, 13, 35ordtrest2 16950 . . 3 ordTop ordTop t
3736trud 1314 . 2 ordTop ordTop t
38 ordtcnv 16947 . . . 4 ordTop ordTop
393, 38ax-mp 8 . . 3 ordTop ordTop
4039oveq1i 5884 . 2 ordTop t ordTop t
4137, 40eqtr2i 2317 1 ordTop t ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wtru 1307   wceq 1632   wcel 1696  crab 2560   cin 3164   wss 3165   class class class wbr 4039   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874  cxr 8882   cle 8884  cicc 10675   ↾t crest 13341  ordTopcordt 13414  cps 14317   ctsr 14318 This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  23333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
 Copyright terms: Public domain W3C validator