Theorem cnvordtrestixx 28793

Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvordtrestixx.1	|- A C_ RR*
cnvordtrestixx.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )

Assertion

Ref	Expression
cnvordtrestixx	|- ( (ordTop ` <_ ) ↾t A ) = (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lern 16549	. . . . 5 |- RR* = ran <_
2		df-rn 4850	. . . . 5 |- ran <_ = dom `' <_
3	1, 2	eqtri 2493	. . . 4 |- RR* = dom `' <_
4		letsr 16551	. . . . . 6 |- <_ e. TosetRel
5		cnvtsr 16546	. . . . . 6 |- ( <_ e. TosetRel -> `' <_ e. TosetRel )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' <_ e. TosetRel
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> `' <_ e. TosetRel )
8		cnvordtrestixx.1	. . . . 5 |- A C_ RR*
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> A C_ RR* )
10		brcnvg 5020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ z e. RR* ) -> ( y `' <_ z <-> z <_ y ) )
11	10	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( y `' <_ z <-> z <_ y ) )
12		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
13		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> x e. A )
14		brcnvg 5020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR* /\ x e. A ) -> ( z `' <_ x <-> x <_ z ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( z `' <_ x <-> x <_ z ) )
16	11, 15	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) <-> ( z <_ y /\ x <_ z ) ) )
17		ancom 457	. . . . . . . 8 |- ( ( z <_ y /\ x <_ z ) <-> ( x <_ z /\ z <_ y ) )
18	16, 17	syl6bb 269	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) <-> ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
19	18	rabbidva 3021	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
20		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> x e. A )
21	8, 20	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> x e. RR* )
22		simpl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> y e. A )
23	8, 22	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> y e. RR* )
24		iccval 11700	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x [,] y ) = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
25	21, 23, 24	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( x [,] y ) = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
26		cnvordtrestixx.2	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )
27	26	ancoms 460	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )
28	25, 27	eqsstr3d 3453	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } C_ A )
29	19, 28	eqsstrd 3452	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } C_ A )
30	29	adantl 473	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } C_ A )
31	3, 7, 9, 30	ordtrest2 20297	. . 3 |- ( T. -> (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A ) )
32	31	trud 1461	. 2 |- (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A )
33		tsrps 16545	. . . . 5 |- ( <_ e. TosetRel -> <_ e. PosetRel )
34	4, 33	ax-mp 5	. . . 4 |- <_ e. PosetRel
35		ordtcnv 20294	. . . 4 |- ( <_ e. PosetRel -> (ordTop ` `' <_ ) = (ordTop ` <_ ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 |- (ordTop ` `' <_ ) = (ordTop ` <_ )
37	36	oveq1i 6318	. 2 |- ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t A )
38	32, 37	eqtr2i 2494	1 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t A ) = (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   {crab 2760   i^i cin 3389   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   [,]cicc 11663   ↾_t crest 15397  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522   TosetRel ctsr 16523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000

This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  28816