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Theorem cnvordtrestixx 28793
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
cnvordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 16549 . . . . 5  |-  RR*  =  ran  <_
2 df-rn 4850 . . . . 5  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
31, 2eqtri 2493 . . . 4  |-  RR*  =  dom  `'  <_
4 letsr 16551 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
5 cnvtsr 16546 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  `'  <_  e.  TosetRel  )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  TosetRel
76a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  `'  <_  e.  TosetRel  )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
98a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A  C_  RR* )
10 brcnvg 5020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  RR* )  -> 
( y `'  <_  z  <-> 
z  <_  y )
)
1110adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( y `'  <_  z  <->  z  <_  y ) )
12 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  z  e.  RR* )
13 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  x  e.  A )
14 brcnvg 5020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  A )  ->  (
z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1512, 13, 14syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1611, 15anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( z  <_ 
y  /\  x  <_  z ) ) )
17 ancom 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  y  /\  x  <_  z )  <->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
1816, 17syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
1918rabbidva 3021 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  =  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
20 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
218, 20sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
22 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )
238, 22sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
24 iccval 11700 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
2521, 23, 24syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2726ancoms 460 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2825, 27eqsstr3d 3453 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
2919, 28eqsstrd 3452 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
3029adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
313, 7, 9, 30ordtrest2 20297 . . 3  |-  ( T. 
->  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A ) )
3231trud 1461 . 2  |-  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )
33 tsrps 16545 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
344, 33ax-mp 5 . . . 4  |-  <_  e.  PosetRel
35 ordtcnv 20294 . . . 4  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  ) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
3736oveq1i 6318 . 2  |-  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
3832, 37eqtr2i 2494 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522    TosetRel ctsr 16523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  28816
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