Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnviun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnviun 36287
Description: Converse of indexed union. (Contributed by RP, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnviun  |-  `' U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  `' B
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem cnviun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5226 . 2  |-  Rel  `' U_ x  e.  A  B
2 reliun 4973 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  `' B  <->  A. x  e.  A  Rel  `' B )
3 relcnv 5226 . . . 4  |-  Rel  `' B
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  Rel  `' B )
52, 4mprgbir 2764 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  A  `' B
6 vex 3060 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
7 vex 3060 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
86, 7opelcnv 5035 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  `' B  <->  <. z ,  y
>.  e.  B )
98bicomi 207 . . . 4  |-  ( <.
z ,  y >.  e.  B  <->  <. y ,  z
>.  e.  `' B )
109rexbii 2901 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  <. z ,  y >.  e.  B  <->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  `' B )
116, 7opelcnv 5035 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  `' U_ x  e.  A  B 
<-> 
<. z ,  y >.  e.  U_ x  e.  A  B )
12 eliun 4297 . . . 4  |-  ( <.
z ,  y >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. z ,  y >.  e.  B )
1311, 12bitri 257 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  `' U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. z ,  y >.  e.  B )
14 eliun 4297 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  `' B  <->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  `' B )
1510, 13, 143bitr4i 285 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  `' U_ x  e.  A  B 
<-> 
<. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  `' B )
161, 5, 15eqrelriiv 4948 1  |-  `' U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  `' B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1455    e. wcel 1898   E.wrex 2750   <.cop 3986   U_ciun 4292   `'ccnv 4852   Rel wrel 4858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861
This theorem is referenced by:  cnvtrclfv  36361
  Copyright terms: Public domain W3C validator