Theorem cnviun 36287

Description: Converse of indexed union. (Contributed by RP, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnviun	|- `' U_ x e. A B = U_ x e. A `' B

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem cnviun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5226	. 2 |- Rel `' U_ x e. A B
2		reliun 4973	. . 3 |- ( Rel U_ x e. A `' B <-> A. x e. A Rel `' B )
3		relcnv 5226	. . . 4 |- Rel `' B
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> Rel `' B )
5	2, 4	mprgbir 2764	. 2 |- Rel U_ x e. A `' B
6		vex 3060	. . . . . 6 |- y e. _V
7		vex 3060	. . . . . 6 |- z e. _V
8	6, 7	opelcnv 5035	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. `' B <-> <. z , y >. e. B )
9	8	bicomi 207	. . . 4 |- ( <. z , y >. e. B <-> <. y , z >. e. `' B )
10	9	rexbii 2901	. . 3 |- ( E. x e. A <. z , y >. e. B <-> E. x e. A <. y , z >. e. `' B )
11	6, 7	opelcnv 5035	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. `' U_ x e. A B <-> <. z , y >. e. U_ x e. A B )
12		eliun 4297	. . . 4 |- ( <. z , y >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. z , y >. e. B )
13	11, 12	bitri 257	. . 3 |- ( <. y , z >. e. `' U_ x e. A B <-> E. x e. A <. z , y >. e. B )
14		eliun 4297	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A `' B <-> E. x e. A <. y , z >. e. `' B )
15	10, 13, 14	3bitr4i 285	. 2 |- ( <. y , z >. e. `' U_ x e. A B <-> <. y , z >. e. U_ x e. A `' B )
16	1, 5, 15	eqrelriiv 4948	1 |- `' U_ x e. A B = U_ x e. A `' B

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   E.wrex 2750   <.cop 3986   U_ciun 4292   `'ccnv 4852   Rel wrel 4858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861

This theorem is referenced by:  cnvtrclfv  36361