MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvimadfsn Structured version   Unicode version

Theorem cnvimadfsn 6913
Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnvimadfsn  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) }
Distinct variable groups:    x, R, y    x, Z, y

Proof of Theorem cnvimadfsn
StepHypRef Expression
1 dfima3 5162 . 2  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R ) }
2 vex 3064 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
3 eldifvsn 4106 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { Z }
)  <->  y  =/=  Z
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  y  =/=  Z )
5 vex 3064 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
62, 5opelcnv 5007 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
7 df-br 4398 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
86, 7bitr4i 254 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  x R y )
94, 8anbi12ci 698 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( _V 
\  { Z }
)  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R )  <->  ( x R y  /\  y  =/=  Z ) )
109exbii 1690 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R )  <->  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) )
1110abbii 2538 . 2  |-  { x  |  E. y ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <.
y ,  x >.  e.  `' R ) }  =  { x  |  E. y ( x R y  /\  y  =/= 
Z ) }
121, 11eqtri 2433 1  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   {cab 2389    =/= wne 2600   _Vcvv 3061    \ cdif 3413   {csn 3974   <.cop 3980   class class class wbr 4397   `'ccnv 4824   "cima 4828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-br 4398  df-opab 4456  df-xp 4831  df-cnv 4833  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838
This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6914  suppimacnv  6915
  Copyright terms: Public domain W3C validator