MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvimadfsn Structured version   Unicode version

Theorem cnvimadfsn 6902
Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnvimadfsn  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) }
Distinct variable groups:    x, R, y    x, Z, y

Proof of Theorem cnvimadfsn
StepHypRef Expression
1 dfima3 5333 . 2  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R ) }
2 vex 3111 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
3 eldifvsn 4154 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { Z }
)  <->  y  =/=  Z
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  <->  y  =/=  Z )
5 vex 3111 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
62, 5opelcnv 5177 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
7 df-br 4443 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
86, 7bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  x R y )
94, 8anbi12ci 698 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( _V 
\  { Z }
)  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R )  <->  ( x R y  /\  y  =/=  Z ) )
109exbii 1639 . . 3  |-  ( E. y ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <. y ,  x >.  e.  `' R )  <->  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) )
1110abbii 2596 . 2  |-  { x  |  E. y ( y  e.  ( _V  \  { Z } )  /\  <.
y ,  x >.  e.  `' R ) }  =  { x  |  E. y ( x R y  /\  y  =/= 
Z ) }
121, 11eqtri 2491 1  |-  ( `' R " ( _V 
\  { Z }
) )  =  {
x  |  E. y
( x R y  /\  y  =/=  Z
) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2447    =/= wne 2657   _Vcvv 3108    \ cdif 3468   {csn 4022   <.cop 4028   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   "cima 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-br 4443  df-opab 4501  df-xp 5000  df-cnv 5002  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007
This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6903  suppimacnv  6904
  Copyright terms: Public domain W3C validator