Theorem cnvhmph 14881

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism.

Assertion

Ref	Expression
cnvhmph	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> `'F e. (K Homeo J)))

Proof of Theorem cnvhmph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnvb 4653	. . . . . 6 |- (Rel F -> (F:U.J-1-1-onto->U.K <-> `'F:U.K-1-1-onto->U.J))
2	1	bicomd 580	. . . . 5 |- (Rel F -> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
3	2	adantl 424	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
4		dfrel2 4358	. . . . . . . . 9 |- (Rel F <-> `'`'F = F)
5	4	biimpi 168	. . . . . . . 8 |- (Rel F -> `'`'F = F)
6	5	imaeq1d 4263	. . . . . . 7 |- (Rel F -> (`'`'F"j) = (F"j))
7	6	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (Rel F -> ((`'`'F"j) e. K <-> (F"j) e. K))
8	7	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (Rel F -> (A.j e. J (`'`'F"j) e. K <-> A.j e. J (F"j) e. K))
9	8	adantl 424	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (A.j e. J (`'`'F"j) e. K <-> A.j e. J (F"j) e. K))
10	3, 9	3anbi12d 1169	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
11		3ancomb 866	. . 3 |- ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J))
12	10, 11	syl5bb 591	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
13		id 73	. . . . . 6 |- (K e. Top -> K e. Top)
14		id 73	. . . . . 6 |- (J e. Top -> J e. Top)
15		cnvexg 4424	. . . . . 6 |- (F e. A -> `'F e. _V)
16	13, 14, 15	3anim123i 1053	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ J e. Top /\ F e. A) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. _V))
17	16	3com12 1071	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. _V))
18	17	adantr 425	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. _V))
19		eqid 1884	. . . 4 |- U.K = U.K
20		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
21	19, 20	ishomeo 10235	. . 3 |- ((K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. _V) -> (`'F e. (K Homeo J) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K)))
22	18, 21	syl 12	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (`'F e. (K Homeo J) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K)))
23	20, 19	ishomeo 10235	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
24	23	adantr 425	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
25	12, 22, 24	3bitr4rd 610	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> `'F e. (K Homeo J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  Rel wrel 3991  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-homeo 10232

Copyright terms: Public domain