MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Unicode version

Theorem cnvfi 7793
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5452 . . 3  |-  `' `' A  C_  A
2 ssfi 7730 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  `' `' A  C_  A )  ->  `' `' A  e.  Fin )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' `' A  e.  Fin )
4 relcnv 5365 . . 3  |-  Rel  `' A
5 cnvexg 6720 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  _V )
6 cnven 7581 . . 3  |-  ( ( Rel  `' A  /\  `' A  e.  _V )  ->  `' A  ~~  `' `' A )
74, 5, 6sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  ~~  `' `' A
)
8 enfii 7727 . 2  |-  ( ( `' `' A  e.  Fin  /\  `' A  ~~  `' `' A )  ->  `' A  e.  Fin )
93, 7, 8syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   Rel wrel 4997    ~~ cen 7503   Fincfn 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510
This theorem is referenced by:  rnfi  7794  fsumcnv  13537  gsumcom3  18661  gsummpt2co  27284  fprodcnv  28540
  Copyright terms: Public domain W3C validator