MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Unicode version

Theorem cnvfi 7693
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5387 . . 3  |-  `' `' A  C_  A
2 ssfi 7631 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  `' `' A  C_  A )  ->  `' `' A  e.  Fin )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' `' A  e.  Fin )
4 relcnv 5301 . . 3  |-  Rel  `' A
5 cnvexg 6621 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  _V )
6 cnven 7482 . . 3  |-  ( ( Rel  `' A  /\  `' A  e.  _V )  ->  `' A  ~~  `' `' A )
74, 5, 6sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  ~~  `' `' A
)
8 enfii 7628 . 2  |-  ( ( `' `' A  e.  Fin  /\  `' A  ~~  `' `' A )  ->  `' A  e.  Fin )
93, 7, 8syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   _Vcvv 3065    C_ wss 3423   class class class wbr 4387   `'ccnv 4934   Rel wrel 4940    ~~ cen 7404   Fincfn 7407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-er 7198  df-en 7408  df-fin 7411
This theorem is referenced by:  rnfi  7694  fsumcnv  13339  gsumcom3  18405  gsummpt2co  26380  fprodcnv  27625
  Copyright terms: Public domain W3C validator