MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvdif Structured version   Unicode version

Theorem cnvdif 5397
Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvdif  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )

Proof of Theorem cnvdif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5362 . 2  |-  Rel  `' ( A  \  B )
2 difss 3617 . . 3  |-  ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A
3 relcnv 5362 . . 3  |-  Rel  `' A
4 relss 5078 . . 3  |-  ( ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A  ->  ( Rel  `' A  ->  Rel  ( `' A  \  `' B ) ) )
52, 3, 4mp2 9 . 2  |-  Rel  ( `' A  \  `' B
)
6 eldif 3471 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( A  \  B
)  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
7 vex 3109 . . . 4  |-  x  e. 
_V
8 vex 3109 . . . 4  |-  y  e. 
_V
97, 8opelcnv 5173 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( A  \  B ) )
10 eldif 3471 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B ) )
117, 8opelcnv 5173 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' A  <->  <. y ,  x >.  e.  A )
127, 8opelcnv 5173 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1312notbii 294 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  `' B  <->  -.  <. y ,  x >.  e.  B
)
1411, 13anbi12i 695 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
1510, 14bitri 249 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
166, 9, 153bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B
) )
171, 5, 16eqrelriiv 5085 1  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    C_ wss 3461   <.cop 4022   `'ccnv 4987   Rel wrel 4993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996
This theorem is referenced by:  cnvin  5398  gtiso  27747  mthmpps  29206
  Copyright terms: Public domain W3C validator