Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvco1 Structured version   Unicode version

Theorem cnvco1 29960
Description: Another distributive law of converse over class composition. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvco1  |-  `' ( `' A  o.  B
)  =  ( `' B  o.  A )

Proof of Theorem cnvco1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5194 . 2  |-  Rel  `' ( `' A  o.  B
)
2 relco 5320 . 2  |-  Rel  ( `' B  o.  A
)
3 vex 3061 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 vex 3061 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
53, 4brcnv 5005 . . . . . 6  |-  ( z `' B y  <->  y B
z )
65bicomi 202 . . . . 5  |-  ( y B z  <->  z `' B y )
7 vex 3061 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
83, 7brcnv 5005 . . . . 5  |-  ( z `' A x  <->  x A
z )
96, 8anbi12ci 696 . . . 4  |-  ( ( y B z  /\  z `' A x )  <->  ( x A z  /\  z `' B y ) )
109exbii 1688 . . 3  |-  ( E. z ( y B z  /\  z `' A x )  <->  E. z
( x A z  /\  z `' B
y ) )
117, 4opelcnv 5004 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( `' A  o.  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' A  o.  B
) )
124, 7opelco 4994 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' A  o.  B )  <->  E. z
( y B z  /\  z `' A x ) )
1311, 12bitri 249 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( `' A  o.  B )  <->  E. z
( y B z  /\  z `' A x ) )
147, 4opelco 4994 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' B  o.  A )  <->  E. z
( x A z  /\  z `' B
y ) )
1510, 13, 143bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( `' A  o.  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' B  o.  A
) )
161, 2, 15eqrelriiv 4917 1  |-  `' ( `' A  o.  B
)  =  ( `' B  o.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   <.cop 3977   class class class wbr 4394   `'ccnv 4821    o. ccom 4826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831
This theorem is referenced by:  pprodcnveq  30208
  Copyright terms: Public domain W3C validator