MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvcnvsn Structured version   Unicode version

Theorem cnvcnvsn 5333
Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5339, this does not need any sethood assumptions on  A and  B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvsn  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5227 . 2  |-  Rel  `' `' { <. A ,  B >. }
2 relcnv 5227 . 2  |-  Rel  `' { <. B ,  A >. }
3 vex 3090 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 3090 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5036 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. } )
6 ancom 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  x  =  A )
)
73, 4opth 4696 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
84, 3opth 4696 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. B ,  A >.  <->  (
y  =  B  /\  x  =  A )
)
96, 7, 83bitr4i 280 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. y ,  x >.  = 
<. B ,  A >. )
10 opex 4686 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1110elsnc 4026 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
12 opex 4686 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1312elsnc 4026 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  =  <. B ,  A >. )
149, 11, 133bitr4i 280 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
154, 3opelcnv 5036 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } )
163, 4opelcnv 5036 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' { <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
1714, 15, 163bitr4i 280 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
185, 17bitri 252 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
191, 2, 18eqrelriiv 4949 1  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {csn 4002   <.cop 4008   `'ccnv 4853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862
This theorem is referenced by:  rnsnopg  5335  cnvsn  5339  strlemor1  15179
  Copyright terms: Public domain W3C validator