Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvbraval Structured version   Unicode version

Theorem cnvbraval 26702
 Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 26656, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows us to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from to ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvbraval
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem cnvbraval
StepHypRef Expression
1 rnbra 26699 . . . . . . . . 9
21eleq2i 2545 . . . . . . . 8
32biimpri 206 . . . . . . 7
4 bra11 26700 . . . . . . . . . 10
5 f1of 5814 . . . . . . . . . 10
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7 ffn 5729 . . . . . . . . 9
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8
9 fvelrnb 5913 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7
113, 10sylib 196 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 f1ocnvfv 6170 . . . . . . . . . . . 12
144, 13mpan 670 . . . . . . . . . . 11
1514imp 429 . . . . . . . . . 10
1615oveq2d 6298 . . . . . . . . 9
1716adantll 713 . . . . . . . 8
18 braval 26536 . . . . . . . . . . 11
1918ancoms 453 . . . . . . . . . 10
2019adantll 713 . . . . . . . . 9
2120adantr 465 . . . . . . . 8
22 fveq1 5863 . . . . . . . . 9
2322adantl 466 . . . . . . . 8
2417, 21, 233eqtr2rd 2515 . . . . . . 7
2524exp31 604 . . . . . 6
2625rexlimdv 2953 . . . . 5
2712, 26mpd 15 . . . 4
2827ralrimiva 2878 . . 3
29 f1ocnvdm 6174 . . . . 5
304, 29mpan 670 . . . 4
31 riesz4 26656 . . . 4
32 oveq2 6290 . . . . . . 7
3332eqeq2d 2481 . . . . . 6
3433ralbidv 2903 . . . . 5
3534riota2 6266 . . . 4
3630, 31, 35syl2anc 661 . . 3
3728, 36mpbid 210 . 2
3837eqcomd 2475 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  wreu 2816   cin 3475  ccnv 4998   crn 5000   wfn 5581  wf 5582  wf1o 5585  cfv 5586  crio 6242  (class class class)co 6282  chil 25509   csp 25512  ccnfn 25543  clf 25544  cbr 25546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25589  ax-hfvadd 25590  ax-hvcom 25591  ax-hvass 25592  ax-hv0cl 25593  ax-hvaddid 25594  ax-hfvmul 25595  ax-hvmulid 25596  ax-hvmulass 25597  ax-hvdistr1 25598  ax-hvdistr2 25599  ax-hvmul0 25600  ax-hfi 25669  ax-his1 25672  ax-his2 25673  ax-his3 25674  ax-his4 25675  ax-hcompl 25792 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-lm 19493  df-t1 19578  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cfil 21426  df-cau 21427  df-cmet 21428  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-gdiv 24869  df-ablo 24957  df-subgo 24977  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-vs 25165  df-nmcv 25166  df-ims 25167  df-dip 25284  df-ssp 25308  df-ph 25401  df-cbn 25452  df-hnorm 25558  df-hba 25559  df-hvsub 25561  df-hlim 25562  df-hcau 25563  df-sh 25797  df-ch 25812  df-oc 25843  df-ch0 25844  df-nmfn 26437  df-nlfn 26438  df-cnfn 26439  df-lnfn 26440  df-bra 26442 This theorem is referenced by:  bracnlnval  26706
 Copyright terms: Public domain W3C validator