HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvbraval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnvbraval 27756
Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 27710, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows us to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from  ~H to  CC). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvbraval  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( `' bra `  T )  =  (
iota_ y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem cnvbraval
StepHypRef Expression
1 bra11 27754 . . . . . . . . . 10  |-  bra : ~H
-1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )
2 f1ocnvfv 6175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( bra : ~H -1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  y
)  =  T  -> 
( `' bra `  T
)  =  y ) )
31, 2mpan 675 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( bra `  y
)  =  T  -> 
( `' bra `  T
)  =  y ) )
43imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( bra `  y )  =  T )  -> 
( `' bra `  T
)  =  y )
54oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( bra `  y )  =  T )  -> 
( x  .ih  ( `' bra `  T ) )  =  ( x 
.ih  y ) )
65adantll 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( bra `  y
)  =  T )  ->  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) )  =  ( x 
.ih  y ) )
7 braval 27590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  y
) `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
87ancoms 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  y
) `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
98adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( bra `  y
) `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( bra `  y
)  =  T )  ->  ( ( bra `  y ) `  x
)  =  ( x 
.ih  y ) )
11 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( bra `  y )  =  T  ->  (
( bra `  y
) `  x )  =  ( T `  x ) )
1211adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( bra `  y
)  =  T )  ->  ( ( bra `  y ) `  x
)  =  ( T `
 x ) )
136, 10, 123eqtr2rd 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( bra `  y
)  =  T )  ->  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) )
14 rnbra 27753 . . . . . . . . 9  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )
1514eleq2i 2520 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  bra  <->  T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
1615biimpri 210 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  T  e.  ran  bra )
17 f1of 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( bra
: ~H -1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  bra : ~H --> ( LinFn  i^i  ConFn ) )
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  bra : ~H
--> ( LinFn  i^i  ConFn )
19 ffn 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( bra
: ~H --> ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  bra  Fn  ~H )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  bra  Fn  ~H
21 fvelrnb 5910 . . . . . . . 8  |-  ( bra 
Fn  ~H  ->  ( T  e.  ran  bra  <->  E. y  e.  ~H  ( bra `  y
)  =  T ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  bra  <->  E. y  e.  ~H  ( bra `  y
)  =  T )
2316, 22sylib 200 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  ( bra `  y )  =  T )
2423adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e. 
~H )  ->  E. y  e.  ~H  ( bra `  y
)  =  T )
2513, 24r19.29a 2931 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  x  e. 
~H )  ->  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) )
2625ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) )
27 f1ocnvdm 6181 . . . . 5  |-  ( ( bra : ~H -1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )  ->  ( `' bra `  T )  e.  ~H )
281, 27mpan 675 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( `' bra `  T )  e.  ~H )
29 riesz4 27710 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E! y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
30 oveq2 6296 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( `' bra `  T )  ->  (
x  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) )
3130eqeq2d 2460 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' bra `  T )  ->  (
( T `  x
)  =  ( x 
.ih  y )  <->  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) ) )
3231ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' bra `  T )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) ) ) )
3332riota2 6272 . . . 4  |-  ( ( ( `' bra `  T
)  e.  ~H  /\  E! y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) )  <->  ( iota_ y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  =  ( `' bra `  T
) ) )
3428, 29, 33syl2anc 666 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  ( `' bra `  T ) )  <->  ( iota_ y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  =  ( `' bra `  T
) ) )
3526, 34mpbid 214 . 2  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( iota_ y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  =  ( `' bra `  T
) )
3635eqcomd 2456 1  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( `' bra `  T )  =  (
iota_ y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   E!wreu 2738    i^i cin 3402   `'ccnv 4832   ran crn 4834    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   iota_crio 6249  (class class class)co 6288   ~Hchil 26565    .ih csp 26568   ConFnccnfn 26599   LinFnclf 26600   bracbr 26602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-t1 20323  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-nmfn 27491  df-nlfn 27492  df-cnfn 27493  df-lnfn 27494  df-bra 27496
This theorem is referenced by:  bracnlnval  27760
  Copyright terms: Public domain W3C validator