Theorem cnvadj 11453

Description: The adjoint function equals its converse.

Assertion

Ref	Expression
cnvadj	|- `'adjh = adjh

Proof of Theorem cnvadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvopab 4317	. . 3 |- `'{<.u, t>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))} = {<.t, u>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))}
2		3ancoma 865	. . . . 5 |- ((u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)))
3		ax-his1 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u` y) e. ~H /\ x e. ~H) -> ((u` y) .ih x) = (*` (x .ih (u` y))))
4		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((u:~H-->~H /\ y e. ~H) -> (u` y) e. ~H)
5	3, 4	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((u:~H-->~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((u` y) .ih x) = (*` (x .ih (u` y))))
6	5	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((u:~H-->~H /\ y e. ~H) /\ (t:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> ((u` y) .ih x) = (*` (x .ih (u` y))))
7		ax-his1 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ (t` x) e. ~H) -> (y .ih (t` x)) = (*` ((t` x) .ih y)))
8		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (t` x) e. ~H)
9	7, 8	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ (t:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> (y .ih (t` x)) = (*` ((t` x) .ih y)))
10	9	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((u:~H-->~H /\ y e. ~H) /\ (t:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> (y .ih (t` x)) = (*` ((t` x) .ih y)))
11	6, 10	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((u:~H-->~H /\ y e. ~H) /\ (t:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> (((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x)) <-> (*` (x .ih (u` y))) = (*` ((t` x) .ih y))))
12	11	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> (((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x)) <-> (*` (x .ih (u` y))) = (*` ((t` x) .ih y))))
13		hicl 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. ~H /\ (u` y) e. ~H) -> (x .ih (u` y)) e. CC)
14	13, 4	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. ~H /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih (u` y)) e. CC)
15	14	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih (u` y)) e. CC)
16		hicl 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((t` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((t` x) .ih y) e. CC)
17	16, 8	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) -> ((t` x) .ih y) e. CC)
18	17	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> ((t` x) .ih y) e. CC)
19		cj11 8080	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x .ih (u` y)) e. CC /\ ((t` x) .ih y) e. CC) -> ((*` (x .ih (u` y))) = (*` ((t` x) .ih y)) <-> (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)))
20	15, 18, 19	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> ((*` (x .ih (u` y))) = (*` ((t` x) .ih y)) <-> (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)))
21	12, 20	bitr2d 588	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:~H-->~H /\ x e. ~H) /\ (u:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> ((x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> ((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x))))
22	21	an4s 566	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> ((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x))))
23	22	anassrs 489	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) -> ((x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> ((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x))))
24		eqcom 1886	. . . . . . . . . . 11 |- (((u` y) .ih x) = (y .ih (t` x)) <-> (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x))
25	23, 24	syl6bb 595	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) -> ((x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
26	25	ralbidva 2119	. . . . . . . . 9 |- (((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> A.y e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
27	26	ralbidva 2119	. . . . . . . 8 |- ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
28		ralcom 2242	. . . . . . . 8 |- (A.x e. ~H A.y e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x) <-> A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x))
29	27, 28	syl6bb 595	. . . . . . 7 |- ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y) <-> A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
30	29	pm5.32i 707	. . . . . 6 |- (((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
31		df-3an 860	. . . . . 6 |- ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)))
32		df-3an 860	. . . . . 6 |- ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)) <-> ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H) /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
33	30, 31, 32	3bitr4i 200	. . . . 5 |- ((t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
34	2, 33	bitri 190	. . . 4 |- ((u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x)))
35	34	opabbii 3402	. . 3 |- {<.t, u>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))} = {<.t, u>. | (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x))}
36	1, 35	eqtri 1908	. 2 |- `'{<.u, t>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))} = {<.t, u>. | (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x))}
37		dfadj2 11449	. . 3 |- adjh = {<.u, t>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))}
38	37	cnveqi 4136	. 2 |- `'adjh = `'{<.u, t>. | (u:~H-->~H /\ t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (u` y)) = ((t` x) .ih y))}
39		dfadj2 11449	. 2 |- adjh = {<.t, u>. | (t:~H-->~H /\ u:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.x e. ~H (y .ih (t` x)) = ((u` y) .ih x))}
40	36, 38, 39	3eqtr4i 1921	1 |- `'adjh = adjh

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {copab 3395  `'ccnv 3985  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  *ccj 7999  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  funcnvadj 11454  adj1o 11455  adjbdlnb 11654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfi 10579  ax-his1 10582

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-adjh 11412

Copyright terms: Public domain