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Theorem cnvadj 26515
Description: The adjoint function equals its converse. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvadj  |-  `' adjh  = 
adjh

Proof of Theorem cnvadj
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvopab 5407 . . 3  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) }
2 3ancoma 980 . . . . 5  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
3 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( u `  y
)  e.  ~H )
4 ax-his1 25703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
53, 4sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( u `  y ) ) ) )
65adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
7 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( t `  x
)  e.  ~H )
8 ax-his1 25703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t `  x
)  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
) )
109adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
116, 10eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
1211ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
13 hicl 25701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u `  y
)  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
143, 13sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( u `  y ) )  e.  CC )
1514adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
16 hicl 25701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
177, 16sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1817adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
19 cj11 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( u `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2112, 20bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )  <->  ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) ) ) )
2221an4s 824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
2322anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
24 eqcom 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) )  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
)
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2625ralbidva 2900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2726ralbidva 2900 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
28 ralcom 3022 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )
2927, 28syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3029pm5.32i 637 . . . . . 6  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
31 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
32 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
3330, 31, 323bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
342, 33bitri 249 . . . 4  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3534opabbii 4511 . . 3  |-  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
361, 35eqtri 2496 . 2  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( ( u `  y ) 
.ih  x ) ) }
37 dfadj2 26508 . . 3  |-  adjh  =  { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
3837cnveqi 5177 . 2  |-  `' adjh  =  `' { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
39 dfadj2 26508 . 2  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
4036, 38, 393eqtr4i 2506 1  |-  `' adjh  = 
adjh
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {copab 4504   `'ccnv 4998   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   *ccj 12892   ~Hchil 25540    .ih csp 25543   adjhcado 25576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-hfi 25700  ax-his1 25703
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-adjh 26472
This theorem is referenced by:  funcnvadj  26516  adj1o  26517  adjbdlnb  26707
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