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Theorem cnvadj 27009
Description: The adjoint function equals its converse. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvadj  |-  `' adjh  = 
adjh

Proof of Theorem cnvadj
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvopab 5392 . . 3  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) }
2 3ancoma 978 . . . . 5  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
3 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( u `  y
)  e.  ~H )
4 ax-his1 26197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
53, 4sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( u `  y ) ) ) )
65adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
7 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( t `  x
)  e.  ~H )
8 ax-his1 26197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t `  x
)  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
97, 8sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
) )
109adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
116, 10eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
1211ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
13 hicl 26195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u `  y
)  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
143, 13sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( u `  y ) )  e.  CC )
1514adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
16 hicl 26195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
177, 16sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1817adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
19 cj11 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2015, 18, 19syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( u `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2112, 20bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )  <->  ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) ) ) )
2221an4s 824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
2322anassrs 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
24 eqcom 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) )  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
)
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2625ralbidva 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2726ralbidva 2890 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
28 ralcom 3015 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )
2927, 28syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3029pm5.32i 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
31 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
32 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
3330, 31, 323bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
342, 33bitri 249 . . . 4  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3534opabbii 4503 . . 3  |-  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
361, 35eqtri 2483 . 2  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( ( u `  y ) 
.ih  x ) ) }
37 dfadj2 27002 . . 3  |-  adjh  =  { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
3837cnveqi 5166 . 2  |-  `' adjh  =  `' { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
39 dfadj2 27002 . 2  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
4036, 38, 393eqtr4i 2493 1  |-  `' adjh  = 
adjh
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {copab 4496   `'ccnv 4987   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   *ccj 13011   ~Hchil 26034    .ih csp 26037   adjhcado 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-hfi 26194  ax-his1 26197
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-adjh 26966
This theorem is referenced by:  funcnvadj  27010  adj1o  27011  adjbdlnb  27201
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