MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Structured version   Unicode version

Theorem cnv0 5259
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5227 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4978 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 3090 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 3090 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5036 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3771 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3771 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 351 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 255 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4949 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   (/)c0 3767   <.cop 4008   `'ccnv 4853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862
This theorem is referenced by:  xp0  5275  cnveq0  5312  co01  5370  f10  5862  f1o00  5863  tpos0  7011  oduleval  16328  ust0  21165  nghmfval  21654  isnghm  21655  0trl  25121  0pth  25145  1pthonlem1  25164  mthmval  30001  0cnf  37325  mbf0  37402
  Copyright terms: Public domain W3C validator