MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnv0 5239
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5207 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4958 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 3048 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 3048 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5016 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3735 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3735 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 352 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 256 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4929 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   (/)c0 3731   <.cop 3974   `'ccnv 4833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842
This theorem is referenced by:  xp0  5255  cnveq0  5292  co01  5350  funcnv0  5640  f10  5845  f1o00  5847  tpos0  7003  oduleval  16377  ust0  21234  nghmfval  21727  isnghm  21728  nghmfvalOLD  21745  isnghmOLD  21746  0pth  25300  1pthonlem1  25319  mthmval  30213  resnonrel  36198  cononrel1  36200  cononrel2  36201  cnvrcl0  36232  0cnf  37754  mbf0  37834
  Copyright terms: Public domain W3C validator