MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Structured version   Unicode version

Theorem cnv0 5409
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5374 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 5127 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 3116 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 3116 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5184 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3789 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3789 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 350 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 252 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 5097 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785   <.cop 4033   `'ccnv 4998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007
This theorem is referenced by:  xp0  5425  cnveq0  5463  co01  5522  f10  5847  f1o00  5848  tpos0  6985  oduleval  15618  gsumval3OLD  16711  ust0  20485  nghmfval  20992  isnghm  20993  0trl  24252  0pth  24276  1pthonlem1  24295  0cnf  31243  mbf0  31303
  Copyright terms: Public domain W3C validator