MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Unicode version

Theorem cntzsubr 17003
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsubr.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsubr.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 cntzsubr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 16702 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 cntzsubr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  M )
53, 4cntzssv 15948 . . . 4  |-  ( Z `
 S )  C_  B
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  B )
7 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
8 ssel2 3449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
98adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  z  e.  B )
10 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
11 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
122, 10, 11rnglz 16787 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
137, 9, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
142, 10, 11rngrz 16788 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
157, 9, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
1613, 15eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
18 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
192, 11rng0cl 16772 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
211, 10mgpplusg 16700 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
223, 21, 4cntzel 15943 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) ) )
2318, 20, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( 0g `  R
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) ) )
2417, 23mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S
) )
25 ne0i 3741 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
27 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
2921, 4cntzi 15949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( x ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) x ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
31 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
3221, 4cntzi 15949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( y ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) y ) )
3331, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) y ) )
3430, 33oveq12d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
35 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
365, 27sseldi 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
375, 31sseldi 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
38 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
3938sselda 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
40 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
412, 40, 10rngdir 16770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) ) )
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( ( x ( .r `  R ) z ) ( +g  `  R ) ( y ( .r `  R
) z ) ) )
432, 40, 10rngdi 16769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
4534, 42, 443eqtr4d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
4645ralrimiva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
47 simp1l 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
48 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
495, 48sseldi 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
50 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  ( Z `  S ) )
515, 50sseldi 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  B )
522, 40rngacl 16778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  B )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  B
)
543, 21, 4cntzel 15943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  B )  -> 
( ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5538, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5646, 55mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
57563expa 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  ( Z `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
) )
5857ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
5929adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
6059fveq2d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( invg `  R ) `  (
x ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( invg `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
61 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
62 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
63 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
645, 63sseldi 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
65 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
6665sselda 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
672, 10, 61, 62, 64, 66rngmneg1 16793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) z ) ) )
682, 10, 61, 62, 66, 64rngmneg2 16794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
)  =  ( ( invg `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
6960, 67, 683eqtr4d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) )
7069ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) )
71 rnggrp 16756 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Grp )
73 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
745, 73sseldi 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
752, 61grpinvcl 15685 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  B )
7672, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  B )
773, 21, 4cntzel 15943 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( ( invg `  R ) `
 x ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
) ) )
7865, 76, 77syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( invg `  R ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( (
( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) ) )
7970, 78mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
8058, 79jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( A. y  e.  ( Z `  S ) ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8180ralrimiva 2822 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8271adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  Grp )
832, 40, 61issubg2 15798 . . . 4  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
856, 26, 81, 84mpbir3and 1171 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  R )
)
861rngmgp 16757 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
873, 4cntzsubm 15955 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
8886, 87sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )
)
891issubrg3 16999 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9089adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9185, 88, 90mpbir2and 913 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    C_ wss 3426   (/)c0 3735   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   .rcmulr 14341   0gc0g 14480   Mndcmnd 15511   Grpcgrp 15512   invgcminusg 15513  SubMndcsubmnd 15565  SubGrpcsubg 15777  Cntzccntz 15935  mulGrpcmgp 16696   Ringcrg 16751  SubRingcsubrg 16967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-subg 15780  df-cntz 15937  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-subrg 16969
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  29697
  Copyright terms: Public domain W3C validator