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Theorem cntzsubr 16821
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsubr.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsubr.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 cntzsubr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 16571 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 cntzsubr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  M )
53, 4cntzssv 15826 . . . 4  |-  ( Z `
 S )  C_  B
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  B )
7 simpll 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
8 ssel2 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
98adantll 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  z  e.  B )
10 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
11 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
122, 10, 11rnglz 16617 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
137, 9, 12syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
142, 10, 11rngrz 16618 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
157, 9, 14syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
1613, 15eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
18 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
192, 11rng0cl 16602 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
2019adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
211, 10mgpplusg 16569 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
223, 21, 4cntzel 15821 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) ) )
2318, 20, 22syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( 0g `  R
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) ) )
2417, 23mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S
) )
25 ne0i 3631 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
27 simpl2 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
28 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
2921, 4cntzi 15827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( x ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) x ) )
3027, 28, 29syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
31 simpl3 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
3221, 4cntzi 15827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( y ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) y ) )
3331, 28, 32syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) y ) )
3430, 33oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
35 simpl1l 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
365, 27sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
375, 31sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
38 simp1r 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
3938sselda 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
40 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
412, 40, 10rngdir 16600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) ) )
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( ( x ( .r `  R ) z ) ( +g  `  R ) ( y ( .r `  R
) z ) ) )
432, 40, 10rngdi 16599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
4534, 42, 443eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
4645ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
47 simp1l 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
48 simp2 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
495, 48sseldi 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
50 simp3 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  ( Z `  S ) )
515, 50sseldi 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  B )
522, 40rngacl 16608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  B )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  B
)
543, 21, 4cntzel 15821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  B )  -> 
( ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5538, 53, 54syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5646, 55mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
57563expa 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  ( Z `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
) )
5857ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
5929adantll 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
6059fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( invg `  R ) `  (
x ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( invg `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
61 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
62 simplll 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
63 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
645, 63sseldi 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
65 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
6665sselda 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
672, 10, 61, 62, 64, 66rngmneg1 16622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) z ) ) )
682, 10, 61, 62, 66, 64rngmneg2 16623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
)  =  ( ( invg `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
6960, 67, 683eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) )
7069ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) )
71 rnggrp 16586 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7271ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Grp )
73 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
745, 73sseldi 3342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
752, 61grpinvcl 15563 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  B )
7672, 74, 75syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  B )
773, 21, 4cntzel 15821 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( ( invg `  R ) `
 x ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R
) `  x )
) ) )
7865, 76, 77syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( invg `  R ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( (
( invg `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( invg `  R ) `  x
) ) ) )
7970, 78mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
8058, 79jca 529 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( A. y  e.  ( Z `  S ) ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8180ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8271adantr 462 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  Grp )
832, 40, 61issubg2 15676 . . . 4  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
856, 26, 81, 84mpbir3and 1164 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  R )
)
861rngmgp 16587 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
873, 4cntzsubm 15833 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
8886, 87sylan 468 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )
)
891issubrg3 16817 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9089adantr 462 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9185, 88, 90mpbir2and 906 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222   0gc0g 14361   Mndcmnd 15392   Grpcgrp 15393   invgcminusg 15394  SubMndcsubmnd 15446  SubGrpcsubg 15655  Cntzccntz 15813  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577  SubRingcsubrg 16785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-subg 15658  df-cntz 15815  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-subrg 16787
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  29404
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