Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Unicode version

Theorem cntzsubr 17329
 Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b
cntzsubr.m mulGrp
cntzsubr.z Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzsubr SubRing

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 mulGrp
2 cntzsubr.b . . . . . 6
31, 2mgpbas 17015 . . . . 5
4 cntzsubr.z . . . . 5 Cntz
53, 4cntzssv 16235 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 simpll 753 . . . . . . . 8
8 ssel2 3481 . . . . . . . . 9
98adantll 713 . . . . . . . 8
10 eqid 2441 . . . . . . . . 9
11 eqid 2441 . . . . . . . . 9
122, 10, 11ringlz 17103 . . . . . . . 8
137, 9, 12syl2anc 661 . . . . . . 7
142, 10, 11ringrz 17104 . . . . . . . 8
157, 9, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
1613, 15eqtr4d 2485 . . . . . 6
1716ralrimiva 2855 . . . . 5
18 simpr 461 . . . . . 6
192, 11ring0cl 17088 . . . . . . 7
2019adantr 465 . . . . . 6
211, 10mgpplusg 17013 . . . . . . 7
223, 21, 4cntzel 16230 . . . . . 6
2318, 20, 22syl2anc 661 . . . . 5
2417, 23mpbird 232 . . . 4
25 ne0i 3773 . . . 4
2624, 25syl 16 . . 3
27 simpl2 999 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
2921, 4cntzi 16236 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
31 simpl3 1000 . . . . . . . . . . . 12
3221, 4cntzi 16236 . . . . . . . . . . . 12
3331, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3430, 33oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10
35 simpl1l 1046 . . . . . . . . . . 11
365, 27sseldi 3484 . . . . . . . . . . 11
375, 31sseldi 3484 . . . . . . . . . . 11
38 simp1r 1020 . . . . . . . . . . . 12
3938sselda 3486 . . . . . . . . . . 11
40 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12
412, 40, 10ringdir 17086 . . . . . . . . . . 11
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1229 . . . . . . . . . 10
432, 40, 10ringdi 17085 . . . . . . . . . . 11
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1229 . . . . . . . . . 10
4534, 42, 443eqtr4d 2492 . . . . . . . . 9
4645ralrimiva 2855 . . . . . . . 8
47 simp1l 1019 . . . . . . . . . 10
48 simp2 996 . . . . . . . . . . 11
495, 48sseldi 3484 . . . . . . . . . 10
50 simp3 997 . . . . . . . . . . 11
515, 50sseldi 3484 . . . . . . . . . 10
522, 40ringacl 17094 . . . . . . . . . 10
5347, 49, 51, 52syl3anc 1227 . . . . . . . . 9
543, 21, 4cntzel 16230 . . . . . . . . 9
5538, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8
5646, 55mpbird 232 . . . . . . 7
57563expa 1195 . . . . . 6
5857ralrimiva 2855 . . . . 5
5929adantll 713 . . . . . . . . 9
6059fveq2d 5856 . . . . . . . 8
61 eqid 2441 . . . . . . . . 9
62 simplll 757 . . . . . . . . 9
63 simplr 754 . . . . . . . . . 10
645, 63sseldi 3484 . . . . . . . . 9
65 simplr 754 . . . . . . . . . 10
6665sselda 3486 . . . . . . . . 9
672, 10, 61, 62, 64, 66ringmneg1 17110 . . . . . . . 8
682, 10, 61, 62, 66, 64ringmneg2 17111 . . . . . . . 8
6960, 67, 683eqtr4d 2492 . . . . . . 7
7069ralrimiva 2855 . . . . . 6
71 ringgrp 17071 . . . . . . . . 9
7271ad2antrr 725 . . . . . . . 8
73 simpr 461 . . . . . . . . 9
745, 73sseldi 3484 . . . . . . . 8
752, 61grpinvcl 15964 . . . . . . . 8
7672, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . 7
773, 21, 4cntzel 16230 . . . . . . 7
7865, 76, 77syl2anc 661 . . . . . 6
7970, 78mpbird 232 . . . . 5
8058, 79jca 532 . . . 4
8180ralrimiva 2855 . . 3
8271adantr 465 . . . 4
832, 40, 61issubg2 16085 . . . 4 SubGrp
8482, 83syl 16 . . 3 SubGrp
856, 26, 81, 84mpbir3and 1178 . 2 SubGrp
861ringmgp 17072 . . 3
873, 4cntzsubm 16242 . . 3 SubMnd
8886, 87sylan 471 . 2 SubMnd
891issubrg3 17325 . . 3 SubRing SubGrp SubMnd
9089adantr 465 . 2 SubRing SubGrp SubMnd
9185, 88, 90mpbir2and 920 1 SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636  wral 2791   wss 3458  c0 3767  cfv 5574  (class class class)co 6277  cbs 14504   cplusg 14569  cmulr 14570  c0g 14709  cmnd 15788  SubMndcsubmnd 15834  cgrp 15922  cminusg 15923  SubGrpcsubg 16064  Cntzccntz 16222  mulGrpcmgp 17009  crg 17066  SubRingcsubrg 17293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-subrg 17295 This theorem is referenced by:  cntzsdrg  31120
 Copyright terms: Public domain W3C validator