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Theorem cntzsubm 15853
Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubm  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
31, 2cntzssv 15846 . . 3  |-  ( Z `
 S )  C_  B
43a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  C_  B )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
61, 5mndidcl 15439 . . . 4  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  B )
8 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  M  e.  Mnd )
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
109sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
121, 11, 5mndlid 15441 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
138, 10, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
141, 11, 5mndrid 15442 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  x )
158, 10, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x
( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  x )
1613, 15eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1716ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
181, 11, 2elcntz 15840 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) ) ) )
1918adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( 0g `  M )  e.  ( Z `  S )  <-> 
( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) ) ) )
207, 17, 19mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S ) )
21 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
22 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
233, 22sseldi 3354 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  B )
24 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Z `  S
) )
253, 24sseldi 3354 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  B )
261, 11mndcl 15420 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) z )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B )
2821adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  Mnd )
2923adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  y  e.  B )
3025adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  z  e.  B )
3110adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
321, 11mndass 15421 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3411, 2cntzi 15847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( z ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3524, 34sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
z ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3635oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
371, 11mndass 15421 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3828, 29, 31, 30, 37syl13anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3911, 2cntzi 15847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( y ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4022, 39sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4140oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
4236, 38, 413eqtr2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
431, 11mndass 15421 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4428, 31, 29, 30, 43syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4533, 42, 443eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4645ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
471, 11, 2elcntz 15840 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4847ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4927, 46, 48mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  ( Z `  S
) )
5049ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. y  e.  ( Z `  S ) A. z  e.  ( Z `  S )
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) )
511, 5, 11issubm 15475 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
5251adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
534, 20, 50, 52mpbir3and 1171 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Mndcmnd 15409  SubMndcsubmnd 15463  Cntzccntz 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-cntz 15835
This theorem is referenced by:  cntzsubg  15854  cntzspan  16326  dprdfadd  16510  dprdfaddOLD  16517  cntzsubr  16897
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