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Theorem cntzsubg 15847
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15543 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
42, 3cntzsubm 15846 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
51, 4sylan 468 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
6 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  M  e.  Grp )
72, 3cntzssv 15839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 S )  C_  B
8 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
97, 8sseldi 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  B )
10 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
112, 10grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
13 ssel2 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
1413ad2ant2l 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  B )
15 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
162, 15grpcl 15544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
176, 9, 12, 16syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
182, 15grpass 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
202, 15grpass 15545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2221oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
2415, 3cntzi 15840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2524adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2625oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )
2726oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( ( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2823, 27eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
292, 15grpcl 15544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
306, 14, 12, 29syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
312, 15grpass 15545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
332, 15grpass 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
3534oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
38 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
392, 15, 38, 10grprinv 15578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  =  ( 0g
`  M ) )
406, 9, 39syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( 0g `  M ) )
4140oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
422, 15grpcl 15544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)
436, 12, 14, 42syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  e.  B )
442, 15, 38grprid 15562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
456, 43, 44syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( ( ( invg `  M
) `  x )
( +g  `  M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 15577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
486, 9, 47syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x )  =  ( 0g `  M
) )
4948oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
502, 15, 38grplid 15561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  M ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5249, 51eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5453anassrs 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Grp  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5554ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
56 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
57 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  M  e.  Grp )
58 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
597, 58sseldi 3351 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
6057, 59, 11syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B )
612, 15, 3cntzel 15834 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
6355, 62mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
6463ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S )
( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) )
6510issubg3 15692 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
6665adantr 462 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 908 1  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    C_ wss 3325   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubMndcsubmnd 15459  SubGrpcsubg 15668  Cntzccntz 15826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671  df-cntz 15828
This theorem is referenced by:  cntrnsg  15852  lsmcntz  16169  dprdz  16517  dprdcntz2  16526  dmdprdsplit2lem  16534  cntzsdrg  29468
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