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Theorem cntzsubg 15866
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15562 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
42, 3cntzsubm 15865 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
51, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  M  e.  Grp )
72, 3cntzssv 15858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 S )  C_  B
8 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
97, 8sseldi 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  B )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
112, 10grpinvcl 15595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
13 ssel2 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
1413ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  B )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
162, 15grpcl 15563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
176, 9, 12, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
182, 15grpass 15564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
202, 15grpass 15564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2221oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
2415, 3cntzi 15859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2625oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )
2726oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( ( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2823, 27eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
292, 15grpcl 15563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
306, 14, 12, 29syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
312, 15grpass 15564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
332, 15grpass 15564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
3534oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
38 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
392, 15, 38, 10grprinv 15597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  =  ( 0g
`  M ) )
406, 9, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( 0g `  M ) )
4140oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
422, 15grpcl 15563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)
436, 12, 14, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  e.  B )
442, 15, 38grprid 15581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
456, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( ( ( invg `  M
) `  x )
( +g  `  M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 15596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
486, 9, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x )  =  ( 0g `  M
) )
4948oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
502, 15, 38grplid 15580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  M ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5249, 51eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5453anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Grp  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5554ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
56 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
57 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  M  e.  Grp )
58 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
597, 58sseldi 3366 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
6057, 59, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B )
612, 15, 3cntzel 15853 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
6355, 62mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
6463ralrimiva 2811 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S )
( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) )
6510issubg3 15711 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
6665adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 913 1  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    C_ wss 3340   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390   Mndcmnd 15421   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423  SubMndcsubmnd 15475  SubGrpcsubg 15687  Cntzccntz 15845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-subg 15690  df-cntz 15847
This theorem is referenced by:  cntrnsg  15871  lsmcntz  16188  dprdz  16539  dprdcntz2  16548  dmdprdsplit2lem  16556  cntzsdrg  29571
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