MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubg Structured version   Unicode version

Theorem cntzsubg 16223
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15911 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
42, 3cntzsubm 16222 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
51, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  M  e.  Grp )
72, 3cntzssv 16215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 S )  C_  B
8 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
97, 8sseldi 3507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  B )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
112, 10grpinvcl 15944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( invg `  M ) `  x
)  e.  B )
13 ssel2 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
1413ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  B )
15 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
162, 15grpcl 15912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
176, 9, 12, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
182, 15grpass 15913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
202, 15grpass 15913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2221oveq2d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
2415, 3cntzi 16216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2625oveq1d 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )
2726oveq2d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( ( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
2823, 27eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
292, 15grpcl 15912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  e.  B
)
306, 14, 12, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B )
312, 15grpass 15913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) ) )
332, 15grpass 15913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
3534oveq2d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
38 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
392, 15, 38, 10grprinv 15946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  =  ( 0g
`  M ) )
406, 9, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) )  =  ( 0g `  M ) )
4140oveq2d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
422, 15grpcl 15912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)
436, 12, 14, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  e.  B )
442, 15, 38grprid 15930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
456, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( ( ( invg `  M
) `  x )
( +g  `  M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 15945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
486, 9, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x )  =  ( 0g `  M
) )
4948oveq1d 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) ) )
502, 15, 38grplid 15929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  M ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  x
) ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5249, 51eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5453anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Grp  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
5554ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) )
56 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
57 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  M  e.  Grp )
58 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
597, 58sseldi 3507 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
6057, 59, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  B )
612, 15, 3cntzel 16210 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invg `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. y  e.  S  ( (
( invg `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  x )
) ) )
6355, 62mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( invg `  M ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
6463ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S )
( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) )
6510issubg3 16068 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
6665adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( invg `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 920 1  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   0gc0g 14707   Mndcmnd 15772  SubMndcsubmnd 15818   Grpcgrp 15902   invgcminusg 15903  SubGrpcsubg 16044  Cntzccntz 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-subg 16047  df-cntz 16204
This theorem is referenced by:  cntrnsg  16228  lsmcntz  16547  dprdz  16926  dprdcntz2  16935  dmdprdsplit2lem  16943  cntzsdrg  31048
  Copyright terms: Public domain W3C validator