MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Structured version   Unicode version

Theorem cntzspan 16719
Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
cntzspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
cntzspan.h  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
Assertion
Ref Expression
cntzspan  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21submacs 15865 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (ACS `  ( Base `  G ) ) )
43acsmred 14925 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  S ) )
6 cntzspan.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (Cntz `  G )
71, 6cntzssv 16235 . . . . . . 7  |-  ( Z `
 S )  C_  ( Base `  G )
85, 7syl6ss 3498 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
91, 6cntzsubm 16242 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
108, 9syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
11 cntzspan.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
1211mrcsscl 14889 . . . . 5  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  S )  /\  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  S )
)
134, 5, 10, 12syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  S ) )
144, 11mrcssvd 14892 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Base `  G ) )
151, 6cntzrec 16240 . . . . 5  |-  ( ( ( K `  S
)  C_  ( Base `  G )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  (
( K `  S
)  C_  ( Z `  S )  <->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1614, 8, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( ( K `  S )  C_  ( Z `  S )  <->  S 
C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1713, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
181, 6cntzsubm 16242 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( K `  S ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)
1914, 18syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  ( K `  S )
)  e.  (SubMnd `  G ) )
2011mrcsscl 14889 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) )  /\  ( Z `
 ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
214, 17, 19, 20syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) )
2211mrccl 14880 . . . 4  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
234, 8, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
24 cntzspan.h . . . 4  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
2524, 6submcmn2 16716 . . 3  |-  ( ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) ) )
2623, 25syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( H  e. CMnd  <->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
2721, 26mpbird 232 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3458   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   ↾s cress 14505  Moorecmre 14851  mrClscmrc 14852  ACScacs 14854   Mndcmnd 15788  SubMndcsubmnd 15834  Cntzccntz 16222  CMndccmn 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-cntz 16224  df-cmn 16669
This theorem is referenced by:  gsumzsplit  16813  gsumzsplitOLD  16814  gsumzoppg  16836  gsumzoppgOLD  16837  gsumpt  16857  gsumptOLD  16858
  Copyright terms: Public domain W3C validator