MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Structured version   Unicode version

Theorem cntzspan 16967
Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
cntzspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
cntzspan.h  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
Assertion
Ref Expression
cntzspan  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21submacs 16113 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (ACS `  ( Base `  G ) ) )
43acsmred 15063 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
5 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  S ) )
6 cntzspan.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (Cntz `  G )
71, 6cntzssv 16483 . . . . . . 7  |-  ( Z `
 S )  C_  ( Base `  G )
85, 7syl6ss 3429 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
91, 6cntzsubm 16490 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
108, 9syldan 468 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
11 cntzspan.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
1211mrcsscl 15027 . . . . 5  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  S )  /\  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  S )
)
134, 5, 10, 12syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  S ) )
144, 11mrcssvd 15030 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Base `  G ) )
151, 6cntzrec 16488 . . . . 5  |-  ( ( ( K `  S
)  C_  ( Base `  G )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  (
( K `  S
)  C_  ( Z `  S )  <->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1614, 8, 15syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( ( K `  S )  C_  ( Z `  S )  <->  S 
C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1713, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
181, 6cntzsubm 16490 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( K `  S ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)
1914, 18syldan 468 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  ( K `  S )
)  e.  (SubMnd `  G ) )
2011mrcsscl 15027 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) )  /\  ( Z `
 ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
214, 17, 19, 20syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) )
2211mrccl 15018 . . . 4  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
234, 8, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
24 cntzspan.h . . . 4  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
2524, 6submcmn2 16964 . . 3  |-  ( ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) ) )
2623, 25syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( H  e. CMnd  <->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
2721, 26mpbird 232 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   ↾s cress 14635  Moorecmre 14989  mrClscmrc 14990  ACScacs 14992   Mndcmnd 16036  SubMndcsubmnd 16082  Cntzccntz 16470  CMndccmn 16915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-cntz 16472  df-cmn 16917
This theorem is referenced by:  gsumzsplit  17061  gsumzsplitOLD  17062  gsumzoppg  17083  gsumzoppgOLD  17084  gsumpt  17102  gsumptOLD  17103
  Copyright terms: Public domain W3C validator