Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntzsdrg Unicode version

Theorem cntzsdrg 27378
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsdrg.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsdrg.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  DivRing )
2 drngrng 15797 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
3 cntzsdrg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 cntzsdrg.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
5 cntzsdrg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
63, 4, 5cntzsubr 15855 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
72, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
8 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )
( .r `  R
) y )  =  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
9 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
y ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  x ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
108, 9eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  <->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) ) )
11 eldifsn 3887 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
134oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1512, 13, 14invrfval 15733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R ) ) )
16 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
173, 12, 16isdrng 15794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
1817simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
2019fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R )
) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2115, 20syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( invr `  R
)  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2322fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  =  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
) )
244oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) )
253, 16, 24drngmgp 15802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
27 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
2827ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
29 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  B
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
314, 3mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  M
)
3230, 31ressbas2 13475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  B  ->  ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
3329, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
3533, 34cntzsubg 15090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Grp  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  ->  (
(Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) )
3626, 28, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
38 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  S
3931, 5cntz2ss 15086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  S
)  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4140ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( Z `  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4241sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4331, 5cntzssv 15082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z `
 S )  C_  B
44 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z `  S ) 
C_  B  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4645sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
47 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  <->  ( x  e.  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  /\  x  e.  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4842, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
49 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  e.  _V
503, 49eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
51 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V
5330, 5, 34resscntz 15085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5452, 28, 53sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5548, 54eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5756subginvcl 14908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  /\  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  ->  (
( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
)  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5836, 55, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5923, 58eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
614, 60mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
6230, 61ressplusg 13526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  e.  _V  ->  ( .r `  R
)  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
6352, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
6463, 34cntzi 15083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
6559, 64sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6611, 65sylan2br 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6766anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
682ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
691adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  R  e.  DivRing )
70 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7243, 71sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  B )
73 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
753, 16, 14drnginvrcl 15807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7669, 72, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7776adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
783, 60, 16rngrz 15656 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7968, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
803, 60, 16rnglz 15655 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8168, 77, 80syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8279, 81eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8310, 67, 82pm2.61ne 2642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8483ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  A. y  e.  S  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
85 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  S  C_  B
)
8631, 61, 5cntzel 15077 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invr `  R
) `  x )  e.  B )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8785, 76, 86syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8884, 87mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S ) )
8988ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) )
9014, 16issdrg2 27374 . 2  |-  ( ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R
)  <->  ( R  e.  DivRing 
/\  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )  /\  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) ) )
911, 7, 89, 90syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641  SubGrpcsubg 14893  Cntzccntz 15069  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615  Unitcui 15699   invrcinvr 15731   DivRingcdr 15790  SubRingcsubrg 15819  SubDRingcsdrg 27371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-sdrg 27372
  Copyright terms: Public domain W3C validator