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Theorem cntzsdrg 35767
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsdrg.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsdrg.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  DivRing )
2 drngring 17917 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
3 cntzsdrg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 cntzsdrg.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
5 cntzsdrg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
63, 4, 5cntzsubr 17975 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
72, 6sylan 473 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
8 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )
( .r `  R
) y )  =  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
9 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
y ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  x ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
108, 9eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  <->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) ) )
11 eldifsn 4128 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )
12 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
134oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
14 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1512, 13, 14invrfval 17836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invr `  R )  =  ( invg `  ( Ms  (Unit `  R ) ) )
16 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
173, 12, 16isdrng 17914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
1817simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
1918oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
2019fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( invg `  ( Ms  (Unit `  R )
) )  =  ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2115, 20syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( invr `  R
)  =  ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( invr `  R )  =  ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2322fveq1d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  =  ( ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
) )
244oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) )
253, 16, 24drngmgp 17922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
27 ssdif 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
2827ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
29 difss 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  B
30 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
314, 3mgpbas 17664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  M
)
3230, 31ressbas2 15142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  B  ->  ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
34 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
3533, 34cntzsubg 16941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Grp  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  ->  (
(Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) )
3626, 28, 35syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
37 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
38 difss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  S
3931, 5cntz2ss 16937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  S
)  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4140ssdifssd 3609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( Z `  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4241sselda 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4331, 5cntzssv 16933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z `
 S )  C_  B
44 ssdif 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z `  S ) 
C_  B  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4645sselda 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4742, 46elind 3656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
48 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  e.  _V
493, 48eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
50 difexg 4573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V
5230, 5, 34resscntz 16936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5351, 28, 52sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5447, 53eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
55 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5655subginvcl 16777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  /\  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  ->  (
( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
)  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5736, 54, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invg `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5823, 57eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
59 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
604, 59mgpplusg 17662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
6130, 60ressplusg 15198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  e.  _V  ->  ( .r `  R
)  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
6251, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
6362, 34cntzi 16934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
6458, 63sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6511, 64sylan2br 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6665anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
672ad3antrrr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
681adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  R  e.  DivRing )
69 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7069adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7143, 70sseldi 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  B )
72 eldifsni 4129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
7372adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
743, 16, 14drnginvrcl 17927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7568, 71, 73, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7675adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
773, 59, 16ringrz 17753 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7867, 76, 77syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
793, 59, 16ringlz 17752 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8067, 76, 79syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8178, 80eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8210, 66, 81pm2.61ne 2746 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8382ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  A. y  e.  S  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
84 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  S  C_  B
)
8531, 60, 5cntzel 16928 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invr `  R
) `  x )  e.  B )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8684, 75, 85syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8783, 86mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S ) )
8887ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) )
8914, 16issdrg2 35763 . 2  |-  ( ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R
)  <->  ( R  e.  DivRing 
/\  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )  /\  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) ) )
901, 7, 88, 89syl3anbrc 1189 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621  SubGrpcsubg 16762  Cntzccntz 16920  mulGrpcmgp 17658   Ringcrg 17715  Unitcui 17802   invrcinvr 17834   DivRingcdr 17910  SubRingcsubrg 17939  SubDRingcsdrg 35760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-sdrg 35761
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