MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzrcl Structured version   Unicode version

Theorem cntzrcl 16482
Description: Reverse closure for elements of the centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrcl.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzrcl  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( M  e.  _V  /\  S  C_  B ) )

Proof of Theorem cntzrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3715 . . . 4  |-  -.  X  e.  (/)
2 cntzrcl.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (Cntz `  M )
3 fvprc 5768 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (Cntz `  M )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  Z  =  (/) )
54fveq1d 5776 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( Z `  S )  =  ( (/) `  S
) )
6 0fv 5807 . . . . . 6  |-  ( (/) `  S )  =  (/)
75, 6syl6eq 2439 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( Z `  S )  =  (/) )
87eleq2d 2452 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( X  e.  ( Z `
 S )  <->  X  e.  (/) ) )
91, 8mtbiri 301 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  X  e.  ( Z `
 S ) )
109con4i 130 . 2  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  M  e.  _V )
11 cntzrcl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
12 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
1311, 12, 2cntzfval 16475 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  _V  ->  Z  =  ( x  e. 
~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  M
) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } ) )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  Z  =  ( x  e. 
~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  M
) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } ) )
1514dmeqd 5118 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  dom  Z  =  dom  ( x  e.  ~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  ( y ( +g  `  M ) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } ) )
16 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  ( y ( +g  `  M ) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } )  =  ( x  e. 
~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  M
) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } )
1716dmmptss 5411 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  ~P B  |->  { y  e.  B  |  A. z  e.  x  ( y ( +g  `  M ) z )  =  ( z ( +g  `  M ) y ) } ) 
C_  ~P B
1815, 17syl6eqss 3467 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  dom  Z 
C_  ~P B )
19 elfvdm 5800 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  S  e.  dom  Z )
2018, 19sseldd 3418 . . 3  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  S  e.  ~P B )
2120elpwid 3937 . 2  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  B )
2210, 21jca 530 1  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( M  e.  _V  /\  S  C_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702  Cntzccntz 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-cntz 16472
This theorem is referenced by:  cntzssv  16483  cntzi  16484  resscntz  16486  cntzmhm  16493  oppgcntz  16516
  Copyright terms: Public domain W3C validator