Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm Structured version   Unicode version

Theorem cntzmhm 16503
 Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z Cntz
cntzmhm.y Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzmhm MndHom

Proof of Theorem cntzmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4
2 eqid 2457 . . . 4
31, 2mhmf 16098 . . 3 MndHom
4 cntzmhm.z . . . . 5 Cntz
51, 4cntzssv 16493 . . . 4
65sseli 3495 . . 3
7 ffvelrn 6030 . . 3
83, 6, 7syl2an 477 . 2 MndHom
9 eqid 2457 . . . . . . . 8
109, 4cntzi 16494 . . . . . . 7
1110adantll 713 . . . . . 6 MndHom
1211fveq2d 5876 . . . . 5 MndHom
13 simpll 753 . . . . . 6 MndHom MndHom
146ad2antlr 726 . . . . . 6 MndHom
151, 4cntzrcl 16492 . . . . . . . . 9
1615adantl 466 . . . . . . . 8 MndHom
1716simprd 463 . . . . . . 7 MndHom
1817sselda 3499 . . . . . 6 MndHom
19 eqid 2457 . . . . . . 7
201, 9, 19mhmlin 16100 . . . . . 6 MndHom
2113, 14, 18, 20syl3anc 1228 . . . . 5 MndHom
221, 9, 19mhmlin 16100 . . . . . 6 MndHom
2313, 18, 14, 22syl3anc 1228 . . . . 5 MndHom
2412, 21, 233eqtr3d 2506 . . . 4 MndHom
2524ralrimiva 2871 . . 3 MndHom
263adantr 465 . . . . 5 MndHom
27 ffn 5737 . . . . 5
2826, 27syl 16 . . . 4 MndHom
29 oveq2 6304 . . . . . 6
30 oveq1 6303 . . . . . 6
3129, 30eqeq12d 2479 . . . . 5
3231ralima 6153 . . . 4
3328, 17, 32syl2anc 661 . . 3 MndHom
3425, 33mpbird 232 . 2 MndHom
35 imassrn 5358 . . . 4
36 frn 5743 . . . . 5
3726, 36syl 16 . . . 4 MndHom
3835, 37syl5ss 3510 . . 3 MndHom
39 cntzmhm.y . . . 4 Cntz
402, 19, 39elcntz 16487 . . 3
4138, 40syl 16 . 2 MndHom
428, 34, 41mpbir2and 922 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109   wss 3471   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   cplusg 14712   MndHom cmhm 16091  Cntzccntz 16480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-mhm 16093  df-cntz 16482 This theorem is referenced by:  cntzmhm2  16504
 Copyright terms: Public domain W3C validator