MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzi Structured version   Unicode version

Theorem cntzi 16493
Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzi.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
cntzi.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzi  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )

Proof of Theorem cntzi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 cntzi.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  M )
31, 2cntzrcl 16491 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( M  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  M
) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
5 cntzi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
61, 5, 2elcntz 16486 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( X  e.  ( Z `  S
)  <->  ( X  e.  ( Base `  M
)  /\  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( X  e.  ( Z `  S )  <->  ( X  e.  ( Base `  M
)  /\  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) ) )
87simplbda 624 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  X  e.  ( Z `  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) )
98anidms 645 . 2  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) )
10 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
11 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  X )  =  ( Y  .+  X ) )
1210, 11eqeq12d 2479 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  =  ( y 
.+  X )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
1312rspccva 3209 . 2  |-  ( ( A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
149, 13sylan 471 1  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  Cntzccntz 16479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-cntz 16481
This theorem is referenced by:  cntri  16494  cntz2ss  16496  cntzsubm  16499  cntzsubg  16500  cntzmhm  16502  cntrsubgnsg  16504  lsmsubm  16799  lsmsubg  16800  lsmcom2  16801  subgdisj1  16835  subgdisj2  16836  pj1id  16843  pj1ghm  16847  gsumval3eu  17033  gsumval3OLD  17034  gsumval3  17037  gsumzaddlem  17060  gsumzaddlemOLD  17062  gsumzoppg  17093  gsumzoppgOLD  17094  dprdfcntz  17175  dprdfcntzOLD  17181  cntzsubr  17587  cntzsdrg  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator