MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzi Structured version   Unicode version

Theorem cntzi 15845
Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzi.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
cntzi.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzi  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )

Proof of Theorem cntzi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 cntzi.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  M )
31, 2cntzrcl 15843 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( M  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  M
) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
5 cntzi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
61, 5, 2elcntz 15838 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( X  e.  ( Z `  S
)  <->  ( X  e.  ( Base `  M
)  /\  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  ( X  e.  ( Z `  S )  <->  ( X  e.  ( Base `  M
)  /\  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) ) )
87simplbda 624 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  X  e.  ( Z `  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) )
98anidms 645 . 2  |-  ( X  e.  ( Z `  S )  ->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) )
10 oveq2 6097 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
11 oveq1 6096 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  X )  =  ( Y  .+  X ) )
1210, 11eqeq12d 2455 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  =  ( y 
.+  X )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
1312rspccva 3070 . 2  |-  ( ( A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
149, 13sylan 471 1  |-  ( ( X  e.  ( Z `
 S )  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236  Cntzccntz 15831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-cntz 15833
This theorem is referenced by:  cntri  15846  cntz2ss  15848  cntzsubm  15851  cntzsubg  15852  cntzmhm  15854  cntrsubgnsg  15856  lsmsubm  16150  lsmsubg  16151  lsmcom2  16152  subgdisj1  16186  subgdisj2  16187  pj1id  16194  pj1ghm  16198  gsumval3eu  16379  gsumval3OLD  16380  gsumval3  16383  gsumzaddlem  16406  gsumzaddlemOLD  16408  gsumzoppg  16438  gsumzoppgOLD  16439  dprdfcntz  16497  dprdfcntzOLD  16503  cntzsubr  16895  cntzsdrg  29556
  Copyright terms: Public domain W3C validator