MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzel Structured version   Unicode version

Theorem cntzel 15853
Description: Membership in a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
cntzfval.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzel  |-  ( ( S  C_  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .+    y, M    y, S    y, X
Allowed substitution hints:    B( y)    Z( y)

Proof of Theorem cntzel
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 cntzfval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
3 cntzfval.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  M )
41, 2, 3elcntz 15852 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  ( Z `  S )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) ) )
54baibd 900 1  |-  ( ( S  C_  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( X  .+  y )  =  ( y  .+  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    C_ wss 3340   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250  Cntzccntz 15845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-cntz 15847
This theorem is referenced by:  cntzsubg  15866  cntzcmn  16336  cntzsubr  16909  cntzsdrg  29571
  Copyright terms: Public domain W3C validator