MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntrnsg Structured version   Unicode version

Theorem cntrnsg 16251
Description: The center of a group is a normal subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrnsg.z  |-  Z  =  (Cntr `  M )
Assertion
Ref Expression
cntrnsg  |-  ( M  e.  Grp  ->  Z  e.  (NrmSGrp `  M )
)

Proof of Theorem cntrnsg
StepHypRef Expression
1 cntrnsg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntr `  M )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Cntz `  M )  =  (Cntz `  M )
42, 3cntrval 16229 . . . 4  |-  ( (Cntz `  M ) `  ( Base `  M ) )  =  (Cntr `  M
)
51, 4eqtr4i 2499 . . 3  |-  Z  =  ( (Cntz `  M
) `  ( Base `  M ) )
6 ssid 3528 . . . 4  |-  ( Base `  M )  C_  ( Base `  M )
72, 3cntzsubg 16246 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( Base `  M )  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
(Cntz `  M ) `  ( Base `  M
) )  e.  (SubGrp `  M ) )
86, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
(Cntz `  M ) `  ( Base `  M
) )  e.  (SubGrp `  M ) )
95, 8syl5eqel 2559 . 2  |-  ( M  e.  Grp  ->  Z  e.  (SubGrp `  M )
)
10 ssid 3528 . 2  |-  Z  C_  Z
111cntrsubgnsg 16250 . 2  |-  ( ( Z  e.  (SubGrp `  M )  /\  Z  C_  Z )  ->  Z  e.  (NrmSGrp `  M )
)
129, 10, 11sylancl 662 1  |-  ( M  e.  Grp  ->  Z  e.  (NrmSGrp `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5594   Basecbs 14507   Grpcgrp 15925  SubGrpcsubg 16067  NrmSGrpcnsg 16068  Cntzccntz 16225  Cntrccntr 16226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-cntz 16227  df-cntr 16228
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator