Theorem cntop2 20305

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2461	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2461	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 20302	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 466	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 469	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   e. wcel 1897   A.wral 2748   U.cuni 4211   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5596  (class class class)co 6314   Topctop 19965   Cn ccn 20288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-map 7499  df-top 19969  df-topon 19971  df-cn 20291

This theorem is referenced by:  cnco  20330  cncls2i  20334  cnntri  20335  cnss1  20340  cncnpi  20342  cncnp2  20345  cnrest  20349  cnrest2r  20351  paste  20358  cncmp  20455  rncmp  20459  cnconn  20485  conima  20488  concn  20489  2ndcomap  20521  kgen2cn  20622  txcnmpt  20687  uptx  20688  lmcn2  20712  xkoco1cn  20720  xkoco2cn  20721  xkococnlem  20722  cnmpt11  20726  cnmpt11f  20727  cnmpt1t  20728  cnmpt12  20730  cnmpt21  20734  cnmpt2t  20736  cnmpt22  20737  cnmpt22f  20738  cnmptcom  20741  cnmpt2k  20751  qtopeu  20779  hmeofval  20821  hmeof1o  20827  hmeontr  20832  hmeores  20834  hmeoqtop  20838  hmphen  20848  reghmph  20856  nrmhmph  20857  txhmeo  20866  xpstopnlem1  20872  flfcntr  21106  cnmpt2pc  22004  ishtpy  22051  htpyco1  22057  htpyco2  22058  isphtpy  22060  phtpyco2  22069  isphtpc  22073  pcofval  22089  pcopt  22101  pcopt2  22102  pcorevlem  22105  pi1cof  22138  pi1coghm  22140  cnmbfm  29133  cnpcon  30001