MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop2 Structured version   Unicode version

Theorem cntop2 19720
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )

Proof of Theorem cntop2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2443 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 19717 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 460 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simprd 463 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   U.cuni 4234   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574  (class class class)co 6281   Topctop 19372    Cn ccn 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-top 19377  df-topon 19380  df-cn 19706
This theorem is referenced by:  cnco  19745  cncls2i  19749  cnntri  19750  cnss1  19755  cncnpi  19757  cncnp2  19760  cnrest  19764  cnrest2r  19766  paste  19773  cncmp  19870  rncmp  19874  cnconn  19901  conima  19904  concn  19905  2ndcomap  19937  kgen2cn  20038  txcnmpt  20103  uptx  20104  lmcn2  20128  xkoco1cn  20136  xkoco2cn  20137  xkococnlem  20138  cnmpt11  20142  cnmpt11f  20143  cnmpt1t  20144  cnmpt12  20146  cnmpt21  20150  cnmpt2t  20152  cnmpt22  20153  cnmpt22f  20154  cnmptcom  20157  cnmpt2k  20167  qtopeu  20195  hmeofval  20237  hmeof1o  20243  hmeontr  20248  hmeores  20250  hmeoqtop  20254  hmphen  20264  reghmph  20272  nrmhmph  20273  txhmeo  20282  xpstopnlem1  20288  cnmpt2pc  21406  ishtpy  21450  htpyco1  21456  htpyco2  21457  isphtpy  21459  phtpyco2  21468  isphtpc  21472  pcofval  21488  pcopt  21500  pcopt2  21501  pcorevlem  21504  pi1cof  21537  pi1coghm  21539  cnmbfm  28212  cnpcon  28653
  Copyright terms: Public domain W3C validator