Theorem cntop2 20256

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2422	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2422	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 20253	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 461	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 464	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   e. wcel 1872   A.wral 2771   U.cuni 4219   `'ccnv 4852   "cima 4856   -->wf 5597  (class class class)co 6306   Topctop 19916   Cn ccn 20239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-map 7486  df-top 19920  df-topon 19922  df-cn 20242

This theorem is referenced by:  cnco  20281  cncls2i  20285  cnntri  20286  cnss1  20291  cncnpi  20293  cncnp2  20296  cnrest  20300  cnrest2r  20302  paste  20309  cncmp  20406  rncmp  20410  cnconn  20436  conima  20439  concn  20440  2ndcomap  20472  kgen2cn  20573  txcnmpt  20638  uptx  20639  lmcn2  20663  xkoco1cn  20671  xkoco2cn  20672  xkococnlem  20673  cnmpt11  20677  cnmpt11f  20678  cnmpt1t  20679  cnmpt12  20681  cnmpt21  20685  cnmpt2t  20687  cnmpt22  20688  cnmpt22f  20689  cnmptcom  20692  cnmpt2k  20702  qtopeu  20730  hmeofval  20772  hmeof1o  20778  hmeontr  20783  hmeores  20785  hmeoqtop  20789  hmphen  20799  reghmph  20807  nrmhmph  20808  txhmeo  20817  xpstopnlem1  20823  flfcntr  21057  cnmpt2pc  21955  ishtpy  22002  htpyco1  22008  htpyco2  22009  isphtpy  22011  phtpyco2  22020  isphtpc  22024  pcofval  22040  pcopt  22052  pcopt2  22053  pcorevlem  22056  pi1cof  22089  pi1coghm  22091  cnmbfm  29094  cnpcon  29962