Theorem cntop2 18867

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2443	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 18864	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 460	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 463	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   A.wral 2736   U.cuni 4112   `'ccnv 4860   "cima 4864   -->wf 5435  (class class class)co 6112   Topctop 18520   Cn ccn 18850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-map 7237  df-top 18525  df-topon 18528  df-cn 18853

This theorem is referenced by:  cnco  18892  cncls2i  18896  cnntri  18897  cnss1  18902  cncnpi  18904  cncnp2  18907  cnrest  18911  cnrest2r  18913  paste  18920  cncmp  19017  rncmp  19021  cnconn  19048  conima  19051  concn  19052  2ndcomap  19084  kgen2cn  19154  txcnmpt  19219  uptx  19220  lmcn2  19244  xkoco1cn  19252  xkoco2cn  19253  xkococnlem  19254  cnmpt11  19258  cnmpt11f  19259  cnmpt1t  19260  cnmpt12  19262  cnmpt21  19266  cnmpt2t  19268  cnmpt22  19269  cnmpt22f  19270  cnmptcom  19273  cnmpt2k  19283  qtopeu  19311  hmeofval  19353  hmeof1o  19359  hmeontr  19364  hmeores  19366  hmeoqtop  19370  hmphen  19380  reghmph  19388  nrmhmph  19389  txhmeo  19398  xpstopnlem1  19404  cnmpt2pc  20522  ishtpy  20566  htpyco1  20572  htpyco2  20573  isphtpy  20575  phtpyco2  20584  isphtpc  20588  pcofval  20604  pcopt  20616  pcopt2  20617  pcorevlem  20620  pi1cof  20653  pi1coghm  20655  cnmbfm  26700  cnpcon  27141