Theorem cntop2 19536

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2467	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 19533	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 460	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 463	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   A.wral 2814   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584  (class class class)co 6284   Topctop 19189   Cn ccn 19519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-top 19194  df-topon 19197  df-cn 19522

This theorem is referenced by:  cnco  19561  cncls2i  19565  cnntri  19566  cnss1  19571  cncnpi  19573  cncnp2  19576  cnrest  19580  cnrest2r  19582  paste  19589  cncmp  19686  rncmp  19690  cnconn  19717  conima  19720  concn  19721  2ndcomap  19753  kgen2cn  19823  txcnmpt  19888  uptx  19889  lmcn2  19913  xkoco1cn  19921  xkoco2cn  19922  xkococnlem  19923  cnmpt11  19927  cnmpt11f  19928  cnmpt1t  19929  cnmpt12  19931  cnmpt21  19935  cnmpt2t  19937  cnmpt22  19938  cnmpt22f  19939  cnmptcom  19942  cnmpt2k  19952  qtopeu  19980  hmeofval  20022  hmeof1o  20028  hmeontr  20033  hmeores  20035  hmeoqtop  20039  hmphen  20049  reghmph  20057  nrmhmph  20058  txhmeo  20067  xpstopnlem1  20073  cnmpt2pc  21191  ishtpy  21235  htpyco1  21241  htpyco2  21242  isphtpy  21244  phtpyco2  21253  isphtpc  21257  pcofval  21273  pcopt  21285  pcopt2  21286  pcorevlem  21289  pi1cof  21322  pi1coghm  21324  cnmbfm  27902  cnpcon  28343