MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Unicode version

Theorem cntop1 19911
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2454 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 19909 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 458 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 457 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566  (class class class)co 6270   Topctop 19564    Cn ccn 19895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-top 19569  df-topon 19572  df-cn 19898
This theorem is referenced by:  cnco  19937  cnclima  19939  cnntri  19942  cnclsi  19943  cnss2  19948  cncnpi  19949  cncnp2  19952  cnrest  19956  cnrest2  19957  cnrest2r  19958  lmcn  19976  cnt0  20017  cnt1  20021  cnhaus  20025  kgen2cn  20229  txcnmpt  20294  uptx  20295  txcn  20296  xkoco1cn  20327  xkoco2cn  20328  xkococnlem  20329  cnmpt21f  20342  qtopss  20385  qtopomap  20388  qtopcmap  20389  hmeofval  20428  hmeof1o  20434  hmeores  20441  hmphen  20455  txhmeo  20473  htpyco2  21648  hauseqcn  28115  cnmbfm  28474  hausgraph  31416  rfcnpre1  31637  fcnre  31643
  Copyright terms: Public domain W3C validator