MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Unicode version

Theorem cntop1 18849
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2443 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 18847 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 460 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2720   U.cuni 4096   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419  (class class class)co 6096   Topctop 18503    Cn ccn 18833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-top 18508  df-topon 18511  df-cn 18836
This theorem is referenced by:  cnco  18875  cnclima  18877  cnntri  18880  cnclsi  18881  cnss2  18886  cncnpi  18887  cncnp2  18890  cnrest  18894  cnrest2  18895  cnrest2r  18896  lmcn  18914  cnt0  18955  cnt1  18959  cnhaus  18963  kgen2cn  19137  txcnmpt  19202  uptx  19203  txcn  19204  xkoco1cn  19235  xkoco2cn  19236  xkococnlem  19237  cnmpt21f  19250  qtopss  19293  qtopomap  19296  qtopcmap  19297  hmeofval  19336  hmeof1o  19342  hmeores  19349  hmphen  19363  txhmeo  19381  htpyco2  20556  hauseqcn  26330  cnmbfm  26683  hausgraph  29585  rfcnpre1  29746  fcnre  29752
  Copyright terms: Public domain W3C validator