MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Unicode version

Theorem cntop1 19535
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2467 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 19533 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 460 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584  (class class class)co 6284   Topctop 19189    Cn ccn 19519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-top 19194  df-topon 19197  df-cn 19522
This theorem is referenced by:  cnco  19561  cnclima  19563  cnntri  19566  cnclsi  19567  cnss2  19572  cncnpi  19573  cncnp2  19576  cnrest  19580  cnrest2  19581  cnrest2r  19582  lmcn  19600  cnt0  19641  cnt1  19645  cnhaus  19649  kgen2cn  19823  txcnmpt  19888  uptx  19889  txcn  19890  xkoco1cn  19921  xkoco2cn  19922  xkococnlem  19923  cnmpt21f  19936  qtopss  19979  qtopomap  19982  qtopcmap  19983  hmeofval  20022  hmeof1o  20028  hmeores  20035  hmphen  20049  txhmeo  20067  htpyco2  21242  hauseqcn  27541  cnmbfm  27902  hausgraph  30805  rfcnpre1  31000  fcnre  31006
  Copyright terms: Public domain W3C validator