Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cntnevol 29124
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9626 . . . . 5  |-  1  =/=  0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  1  =/=  0 )
3 snelpwi 4645 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  O  ->  { 1 }  e.  ~P O
)
4 fvres 5893 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  ~P O  ->  ( ( #  |` 
~P O ) `  { 1 } )  =  ( # `  {
1 } ) )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  (
# `  { 1 } ) )
6 1re 9660 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 hashsng 12587 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
95, 8syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  1 )
10 snssi 4107 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
11 ovolsn 22526 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )
12 nulmbl 22567 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  C_  RR  /\  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
14 mblvol 22562 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  ( vol* `  { 1 } ) )
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  { 1 } )  =  0
1614, 15syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  0 )
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5  |-  ( vol `  { 1 } )  =  0
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  ( vol `  { 1 } )  =  0 )
192, 9, 183netr4d 2720 . . 3  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } ) )
20 fveq1 5878 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  ( vol `  { 1 } ) )
2120necon3i 2675 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } )  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
2219, 21syl 17 . 2  |-  ( 1  e.  O  ->  ( #  |`  ~P O )  =/= 
vol )
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  dom  vol
2423biantrur 514 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  ( { 1 }  e.  dom  vol  /\ 
-.  { 1 }  e.  dom  ( #  |` 
~P O ) ) )
25 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  e.  _V
2625elpw 3948 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  ~P O 
<->  { 1 }  C_  O )
27 dmhashres 12562 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( #  |`  ~P O )  =  ~P O
2827eleq2i 2541 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  { 1 }  e.  ~P O )
29 1ex 9656 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3029snss 4087 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  O  <->  { 1 }  C_  O )
3126, 28, 303bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  1  e.  O
)
3231notbii 303 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  -.  1  e.  O )
3324, 32bitr3i 259 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  <->  -.  1  e.  O )
34 nelne1 2739 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  ->  dom  vol 
=/=  dom  ( #  |`  ~P O
) )
3533, 34sylbir 218 . . . 4  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  vol  =/=  dom  ( #  |`  ~P O ) )
3635necomd 2698 . . 3  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol )
37 dmeq 5040 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =  dom  vol )
3837necon3i 2675 . . 3  |-  ( dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
3936, 38syl 17 . 2  |-  ( -.  1  e.  O  -> 
( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
4022, 39pm2.61i 169 1  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   dom cdm 4839    |` cres 4841   ` cfv 5589   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   #chash 12553   vol*covol 22491   volcvol 22493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator