Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Unicode version

Theorem cntnevol 26640
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9349 . . . . 5  |-  1  =/=  0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  1  =/=  0 )
3 snelpwi 4535 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  O  ->  { 1 }  e.  ~P O
)
4 fvres 5702 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  ~P O  ->  ( ( #  |` 
~P O ) `  { 1 } )  =  ( # `  {
1 } ) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  (
# `  { 1 } ) )
6 1re 9383 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 hashsng 12134 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
95, 8syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  1 )
10 snssi 4015 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
11 ovolsn 20976 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )
12 nulmbl 21015 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  C_  RR  /\  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
14 mblvol 21011 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  ( vol* `  { 1 } ) )
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  { 1 } )  =  0
1614, 15syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  0 )
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5  |-  ( vol `  { 1 } )  =  0
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  ( vol `  { 1 } )  =  0 )
192, 9, 183netr4d 2633 . . 3  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } ) )
20 fveq1 5688 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  ( vol `  { 1 } ) )
2120necon3i 2648 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } )  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
2219, 21syl 16 . 2  |-  ( 1  e.  O  ->  ( #  |`  ~P O )  =/= 
vol )
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  dom  vol
2423biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  ( { 1 }  e.  dom  vol  /\ 
-.  { 1 }  e.  dom  ( #  |` 
~P O ) ) )
25 snex 4531 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  e.  _V
2625elpw 3864 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  ~P O 
<->  { 1 }  C_  O )
27 dmhashres 12110 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( #  |`  ~P O )  =  ~P O
2827eleq2i 2505 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  { 1 }  e.  ~P O )
29 1ex 9379 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3029snss 3997 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  O  <->  { 1 }  C_  O )
3126, 28, 303bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  1  e.  O
)
3231notbii 296 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  -.  1  e.  O )
3324, 32bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  <->  -.  1  e.  O )
34 nelne1 2699 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  ->  dom  vol 
=/=  dom  ( #  |`  ~P O
) )
3533, 34sylbir 213 . . . 4  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  vol  =/=  dom  ( #  |`  ~P O ) )
3635necomd 2693 . . 3  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol )
37 dmeq 5038 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =  dom  vol )
3837necon3i 2648 . . 3  |-  ( dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
3936, 38syl 16 . 2  |-  ( -.  1  e.  O  -> 
( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
4022, 39pm2.61i 164 1  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   {csn 3875   dom cdm 4838    |` cres 4840   ` cfv 5416   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281   #chash 12101   vol*covol 20944   volcvol 20945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946  df-vol 20947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator