Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Unicode version

Theorem cntnevol 27825
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9550 . . . . 5  |-  1  =/=  0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  1  =/=  0 )
3 snelpwi 4685 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  O  ->  { 1 }  e.  ~P O
)
4 fvres 5871 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  ~P O  ->  ( ( #  |` 
~P O ) `  { 1 } )  =  ( # `  {
1 } ) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  (
# `  { 1 } ) )
6 1re 9584 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 hashsng 12393 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
95, 8syl6eq 2517 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  1 )
10 snssi 4164 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
11 ovolsn 21634 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )
12 nulmbl 21674 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  C_  RR  /\  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
14 mblvol 21669 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  ( vol* `  { 1 } ) )
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  { 1 } )  =  0
1614, 15syl6eq 2517 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  0 )
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5  |-  ( vol `  { 1 } )  =  0
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  ( vol `  { 1 } )  =  0 )
192, 9, 183netr4d 2765 . . 3  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } ) )
20 fveq1 5856 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  ( vol `  { 1 } ) )
2120necon3i 2700 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } )  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
2219, 21syl 16 . 2  |-  ( 1  e.  O  ->  ( #  |`  ~P O )  =/= 
vol )
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  dom  vol
2423biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  ( { 1 }  e.  dom  vol  /\ 
-.  { 1 }  e.  dom  ( #  |` 
~P O ) ) )
25 snex 4681 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  e.  _V
2625elpw 4009 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  ~P O 
<->  { 1 }  C_  O )
27 dmhashres 12369 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( #  |`  ~P O )  =  ~P O
2827eleq2i 2538 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  { 1 }  e.  ~P O )
29 1ex 9580 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3029snss 4144 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  O  <->  { 1 }  C_  O )
3126, 28, 303bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  1  e.  O
)
3231notbii 296 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  -.  1  e.  O )
3324, 32bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  <->  -.  1  e.  O )
34 nelne1 2789 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  ->  dom  vol 
=/=  dom  ( #  |`  ~P O
) )
3533, 34sylbir 213 . . . 4  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  vol  =/=  dom  ( #  |`  ~P O ) )
3635necomd 2731 . . 3  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol )
37 dmeq 5194 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =  dom  vol )
3837necon3i 2700 . . 3  |-  ( dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
3936, 38syl 16 . 2  |-  ( -.  1  e.  O  -> 
( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
4022, 39pm2.61i 164 1  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   dom cdm 4992    |` cres 4994   ` cfv 5579   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   #chash 12360   vol*covol 21602   volcvol 21603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator