Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Unicode version

Theorem cntnevol 28556
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9511 . . . . 5  |-  1  =/=  0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  1  =/=  0 )
3 snelpwi 4635 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  O  ->  { 1 }  e.  ~P O
)
4 fvres 5819 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  ~P O  ->  ( ( #  |` 
~P O ) `  { 1 } )  =  ( # `  {
1 } ) )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  (
# `  { 1 } ) )
6 1re 9545 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 hashsng 12393 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
95, 8syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  1 )
10 snssi 4115 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
11 ovolsn 22090 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )
12 nulmbl 22130 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  C_  RR  /\  ( vol* `  { 1 } )  =  0 )  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  e.  dom  vol )
14 mblvol 22125 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  ( vol* `  { 1 } ) )
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( vol* `  { 1 } )  =  0
1614, 15syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  e.  dom  vol 
->  ( vol `  {
1 } )  =  0 )
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5  |-  ( vol `  { 1 } )  =  0
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( 1  e.  O  ->  ( vol `  { 1 } )  =  0 )
192, 9, 183netr4d 2708 . . 3  |-  ( 1  e.  O  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } ) )
20 fveq1 5804 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  (
( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =  ( vol `  { 1 } ) )
2120necon3i 2643 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  ~P O
) `  { 1 } )  =/=  ( vol `  { 1 } )  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
2219, 21syl 17 . 2  |-  ( 1  e.  O  ->  ( #  |`  ~P O )  =/= 
vol )
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  dom  vol
2423biantrur 504 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  ( { 1 }  e.  dom  vol  /\ 
-.  { 1 }  e.  dom  ( #  |` 
~P O ) ) )
25 snex 4631 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  e.  _V
2625elpw 3960 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  ~P O 
<->  { 1 }  C_  O )
27 dmhashres 12368 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( #  |`  ~P O )  =  ~P O
2827eleq2i 2480 . . . . . . . 8  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  { 1 }  e.  ~P O )
29 1ex 9541 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3029snss 4095 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  O  <->  { 1 }  C_  O )
3126, 28, 303bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  1  e.  O
)
3231notbii 294 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ 1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
)  <->  -.  1  e.  O )
3324, 32bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  <->  -.  1  e.  O )
34 nelne1 2732 . . . . 5  |-  ( ( { 1 }  e.  dom  vol  /\  -.  {
1 }  e.  dom  ( #  |`  ~P O
) )  ->  dom  vol 
=/=  dom  ( #  |`  ~P O
) )
3533, 34sylbir 213 . . . 4  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  vol  =/=  dom  ( #  |`  ~P O ) )
3635necomd 2674 . . 3  |-  ( -.  1  e.  O  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol )
37 dmeq 5145 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P O )  =  vol  ->  dom  ( #  |`  ~P O
)  =  dom  vol )
3837necon3i 2643 . . 3  |-  ( dom  ( #  |`  ~P O
)  =/=  dom  vol  ->  ( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
3936, 38syl 17 . 2  |-  ( -.  1  e.  O  -> 
( #  |`  ~P O
)  =/=  vol )
4022, 39pm2.61i 164 1  |-  ( #  |` 
~P O )  =/= 
vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   {csn 3971   dom cdm 4942    |` cres 4944   ` cfv 5525   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   #chash 12359   vol*covol 22058   volcvol 22059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xadd 11290  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-xmet 18624  df-met 18625  df-ovol 22060  df-vol 22061
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator