Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntmeas Structured version   Unicode version

Theorem cntmeas 26576
Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cntmeas  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S )  e.  (measures `  S ) )

Proof of Theorem cntmeas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf2 26469 . . . 4  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
2 ssv 3373 . . . 4  |-  S  C_  _V
3 fssres 5575 . . . 4  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  C_  _V )  -> 
( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
41, 2, 3mp2an 667 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )
54a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
6 0elsiga 26493 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
7 fvres 5701 . . . 4  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( (
#  |`  S ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S ) `
 (/) )  =  (
# `  (/) ) )
9 hash0 12131 . . 3  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2489 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S ) `
 (/) )  =  0 )
11 vex 2973 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
12 hasheuni 26470 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( # `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( # `  y
) )
1311, 12mpan 665 . . . . . 6  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  (
# `  U. x )  = Σ* y  e.  x (
# `  y )
)
1413ad2antll 723 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( # `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( # `  y
) )
15 isrnsigau 26506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
1615simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
1716simp3d 997 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
18 fvres 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. x  e.  S  ->  ( ( #  |`  S ) `
 U. x )  =  ( # `  U. x ) )
1918imim2i 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  (
x  ~<_  om  ->  ( (
#  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2019ralimi 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  ( ( #  |`  S ) `
 U. x )  =  ( # `  U. x ) ) )
2117, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2221r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S
)  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2322imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
#  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) )
2423adantrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) )
25 elpwi 3866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  ->  x  C_  S )
2625sseld 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P S  -> 
( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
27 fvres 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  (
( #  |`  S ) `
 y )  =  ( # `  y
) )
2826, 27syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P S  -> 
( y  e.  x  ->  ( ( #  |`  S ) `
 y )  =  ( # `  y
) ) )
2928imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  S ) `  y
)  =  ( # `  y ) )
3029esumeq2dv 26430 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P S  -> Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `  y
)  = Σ* y  e.  x
( # `  y ) )
3130ad2antlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  -> Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y )  = Σ* y  e.  x ( # `  y ) )
3214, 24, 313eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `  y
) )
3332ex 434 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S
)  ->  ( (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) )
3433ralrimiva 2797 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) )
35 ismeas 26549 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S )  e.  (measures `  S
)  <->  ( ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( #  |`  S ) `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  S ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) ) ) )
365, 10, 34, 35mpbir3and 1166 1  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   ran crn 4837    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~<_ cdom 7304   0cc0 9278   +oocpnf 9411   [,]cicc 11299   #chash 12099  Σ*cesum 26419  sigAlgebracsiga 26486  measurescmeas 26545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-lmod 16930  df-scaf 16931  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tmd 19602  df-tgp 19603  df-tsms 19656  df-trg 19693  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nrg 20137  df-nlm 20138  df-ii 20412  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-esum 26420  df-siga 26487  df-meas 26546
This theorem is referenced by:  pwcntmeas  26577
  Copyright terms: Public domain W3C validator