Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntmeas Structured version   Unicode version

Theorem cntmeas 26780
Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cntmeas  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S )  e.  (measures `  S ) )

Proof of Theorem cntmeas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf2 26673 . . . 4  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
2 ssv 3479 . . . 4  |-  S  C_  _V
3 fssres 5681 . . . 4  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  C_  _V )  -> 
( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )
54a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
6 0elsiga 26697 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
7 fvres 5808 . . . 4  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( (
#  |`  S ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S ) `
 (/) )  =  (
# `  (/) ) )
9 hash0 12247 . . 3  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2509 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S ) `
 (/) )  =  0 )
11 vex 3075 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
12 hasheuni 26674 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( # `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( # `  y
) )
1311, 12mpan 670 . . . . . 6  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  (
# `  U. x )  = Σ* y  e.  x (
# `  y )
)
1413ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( # `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( # `  y
) )
15 isrnsigau 26710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
1716simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
18 fvres 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. x  e.  S  ->  ( ( #  |`  S ) `
 U. x )  =  ( # `  U. x ) )
1918imim2i 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  (
x  ~<_  om  ->  ( (
#  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2019ralimi 2816 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  ( ( #  |`  S ) `
 U. x )  =  ( # `  U. x ) ) )
2117, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2221r19.21bi 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S
)  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) ) )
2322imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
#  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) )
2423adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  =  (
# `  U. x ) )
25 elpwi 3972 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  ->  x  C_  S )
2625sseld 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P S  -> 
( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
27 fvres 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  (
( #  |`  S ) `
 y )  =  ( # `  y
) )
2826, 27syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P S  -> 
( y  e.  x  ->  ( ( #  |`  S ) `
 y )  =  ( # `  y
) ) )
2928imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  S ) `  y
)  =  ( # `  y ) )
3029esumeq2dv 26634 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P S  -> Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `  y
)  = Σ* y  e.  x
( # `  y ) )
3130ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  -> Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y )  = Σ* y  e.  x ( # `  y ) )
3214, 24, 313eqtr4d 2503 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( ( #  |`  S ) `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `  y
) )
3332ex 434 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P S
)  ->  ( (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) )
3433ralrimiva 2827 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) )
35 ismeas 26753 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( #  |`  S )  e.  (measures `  S
)  <->  ( ( #  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( #  |`  S ) `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  S ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( ( #  |`  S ) `
 U. x )  = Σ* y  e.  x ( ( #  |`  S ) `
 y ) ) ) ) )
365, 10, 34, 35mpbir3and 1171 1  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( #  |`  S )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   U.cuni 4194  Disj wdisj 4365   class class class wbr 4395   ran crn 4944    |` cres 4945   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   omcom 6581    ~<_ cdom 7413   0cc0 9388   +oocpnf 9521   [,]cicc 11409   #chash 12215  Σ*cesum 26623  sigAlgebracsiga 26690  measurescmeas 26749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-disj 4366  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-ordt 14553  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-ps 15484  df-tsr 15485  df-mnd 15529  df-plusf 15530  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-subrg 16981  df-abv 17020  df-lmod 17068  df-scaf 17069  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-tmd 19770  df-tgp 19771  df-tsms 19824  df-trg 19861  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-nm 20302  df-ngp 20303  df-nrg 20305  df-nlm 20306  df-ii 20580  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-esum 26624  df-siga 26691  df-meas 26750
This theorem is referenced by:  pwcntmeas  26781
  Copyright terms: Public domain W3C validator