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Theorem cnt1 20146
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20036 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 1022 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 20042 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
653ad2ant3 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
7 ffn 5716 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
86, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  Fn  U. J )
9 fnsnfv 5911 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  x  e.  U. J
)  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F " { x } ) )
108, 9sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F
" { x }
) )
1110imaeq2d 5159 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  ( `' F " ( F
" { x }
) ) )
12 simpl2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F : X -1-1-> Y )
13 fdm 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
146, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  U. J
)
15 f1dm 5770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
16153ad2ant2 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16eqtr3d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  U. J  =  X
)
1817eleq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  U. J 
<->  x  e.  X ) )
1918biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
2019snssd 4119 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  X )
21 f1imacnv 5817 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { x }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2212, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2311, 22eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  {
x } )
24 simpl3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
25 simpl1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  K  e.  Fre )
266ffvelrnda 6011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
274t1sncld 20122 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  ( F `  x )  e.  U. K )  ->  { ( F `
 x ) }  e.  ( Clsd `  K
) )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  e.  ( Clsd `  K ) )
29 cnclima 20064 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  { ( F `  x
) }  e.  (
Clsd `  K )
)  ->  ( `' F " { ( F `
 x ) } )  e.  ( Clsd `  J ) )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
3123, 30eqeltrrd 2493 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
3231ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
333ist1 20117 . 2  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
342, 32, 33sylanbrc 664 1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756    C_ wss 3416   {csn 3974   U.cuni 4193   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   "cima 4828    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1->wf1 5568   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Topctop 19688   Clsdccld 19811    Cn ccn 20020   Frect1 20103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-top 19693  df-topon 19696  df-cld 19814  df-cn 20023  df-t1 20110
This theorem is referenced by:  restt1  20163  sst1  20170  t1hmph  20586
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