Theorem cnsubsp2 15427

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
cnsubsp2.1	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnsubsp2	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F e. (J Cn K) <-> F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.))))

Proof of Theorem cnsubsp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F Fn U.J) -> F Fn U.J)
2	1	anim1i 361	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ F Fn U.J) /\ ran F C_ B) -> (F Fn U.J /\ ran F C_ B))
3		df-f 4010	. . . . . . . . . . . 12 |- (F:U.J-->B <-> (F Fn U.J /\ ran F C_ B))
4	2, 3	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ F Fn U.J) /\ ran F C_ B) -> F:U.J-->B)
5	4	exp31 407	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F Fn U.J -> (ran F C_ B -> F:U.J-->B)))
6	5	com23 36	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (ran F C_ B -> (F Fn U.J -> F:U.J-->B)))
7	6	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ ran F C_ B) -> (F Fn U.J -> F:U.J-->B))
8		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- (F:U.J-->Y -> F Fn U.J)
9	7, 8	syl5 20	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ ran F C_ B) -> (F:U.J-->Y -> F:U.J-->B))
10	9	adantrr 431	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F:U.J-->Y -> F:U.J-->B))
11	10	adantrd 427	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> F:U.J-->B))
12		cnsubsp2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = U.K
13	12	sseq2i 2642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B C_ Y <-> B C_ U.K)
14	13	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B C_ Y -> B C_ U.K)
15	14	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> B C_ U.K)
16		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
17	16	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> U.K e. _V)
18		ssexg 3457	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B C_ U.K /\ U.K e. _V) -> B e. _V)
19	15, 17, 18	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> B e. _V)
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
21		issubspt 10247	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. Top /\ s e. _V /\ B e. _V) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) <-> E.t e. K s = (t i^i B)))
22	20, 21	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. Top /\ B e. _V) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) <-> E.t e. K s = (t i^i B)))
23	19, 22	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) <-> E.t e. K s = (t i^i B)))
24	23	ad2ant2l 444	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) <-> E.t e. K s = (t i^i B)))
25		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (s = (t i^i B) -> (`'F"s) = (`'F"(t i^i B)))
26	25	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"s) = (`'F"(t i^i B)))
27		funcnvcnv 4473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Fun F -> Fun `'`'F)
28	27	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> Fun `'`'F)
29		imain 4494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Fun `'`'F -> (`'F"(t i^i B)) = ((`'F"t) i^i (`'F"B)))
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"(t i^i B)) = ((`'F"t) i^i (`'F"B)))
31	26, 30	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"s) = ((`'F"t) i^i (`'F"B)))
32		imass2 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (ran F C_ B -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((ran F C_ B /\ B C_ Y) -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
34	33	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
35	34	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
36		cvimarndm 10151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (`'F"ran F) = dom F
37	36	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom F = (`'F"ran F)
38	35, 37	syl5ss 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> dom F C_ (`'F"B))
39		cnvimass 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (`'F"B) C_ dom F
40	38, 39	jctil 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> ((`'F"B) C_ dom F /\ dom F C_ (`'F"B)))
41		eqss 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((`'F"B) = dom F <-> ((`'F"B) C_ dom F /\ dom F C_ (`'F"B)))
42	40, 41	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"B) = dom F)
43	42	ineq2d 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> ((`'F"t) i^i (`'F"B)) = ((`'F"t) i^i dom F))
44		cnvimass 4286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (`'F"t) C_ dom F
45		df-ss 2605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((`'F"t) C_ dom F <-> ((`'F"t) i^i dom F) = (`'F"t))
46	44, 45	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((`'F"t) i^i dom F) = (`'F"t)
47	43, 46	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> ((`'F"t) i^i (`'F"B)) = (`'F"t))
48		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (o = t -> (`'F"o) = (`'F"t))
49	48	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (o = t -> ((`'F"o) e. J <-> (`'F"t) e. J))
50	49	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. K -> (A.o e. K (`'F"o) e. J -> (`'F"t) e. J))
51	50	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) -> (A.o e. K (`'F"o) e. J -> (`'F"t) e. J))
52	51	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (`'F"t) e. J)
53	52	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"t) e. J)
54	47, 53	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> ((`'F"t) i^i (`'F"B)) e. J)
55	31, 54	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ t e. K) /\ s = (t i^i B)) /\ (Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)) -> (`'F"s) e. J)
56	55	exp41 413	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (t e. K -> (s = (t i^i B) -> ((Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (`'F"s) e. J))))
57	56	r19.23adv 2215	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (E.t e. K s = (t i^i B) -> ((Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (`'F"s) e. J)))
58	24, 57	sylbid 220	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) -> ((Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (`'F"s) e. J)))
59	58	com23 36	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (s e. (subSp` <.B, K>.) -> (`'F"s) e. J)))
60	59	r19.21adv 2181	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((Fun F /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J))
61		ffun 4565	. . . . . 6 |- (F:U.J-->Y -> Fun F)
62	60, 61	sylani 513	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J))
63	11, 62	jcad 661	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) -> (F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
64		fss 4571	. . . . . . . 8 |- ((F:U.J-->B /\ B C_ Y) -> F:U.J-->Y)
65	64	expcom 403	. . . . . . 7 |- (B C_ Y -> (F:U.J-->B -> F:U.J-->Y))
66	65	ad2antll 443	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F:U.J-->B -> F:U.J-->Y))
67	66	adantrd 427	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) -> F:U.J-->Y))
68		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> K e. Top)
69	68	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> K e. Top)
70		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> B C_ Y)
71	70	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> B C_ Y)
72		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> o e. K)
73		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (o i^i B) = (o i^i B))
74	12	elsubsp 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. Top /\ B C_ Y) /\ (o e. K /\ (o i^i B) = (o i^i B))) -> (o i^i B) e. (subSp` <.B, K>.))
75	69, 71, 72, 73, 74	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (o i^i B) e. (subSp` <.B, K>.))
76		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (s = (o i^i B) -> (`'F"s) = (`'F"(o i^i B)))
77	76	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- (s = (o i^i B) -> ((`'F"s) e. J <-> (`'F"(o i^i B)) e. J))
78	77	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((o i^i B) e. (subSp` <.B, K>.) -> (A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J -> (`'F"(o i^i B)) e. J))
79	75, 78	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J -> (`'F"(o i^i B)) e. J))
80	27	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> Fun `'`'F)
81		imain 4494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Fun `'`'F -> (`'F"(o i^i B)) = ((`'F"o) i^i (`'F"B)))
82	80, 81	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (`'F"(o i^i B)) = ((`'F"o) i^i (`'F"B)))
83	32	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
84	83	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (`'F"ran F) C_ (`'F"B))
85	84, 37	syl5ss 2661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> dom F C_ (`'F"B))
86	85, 39	jctil 316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> ((`'F"B) C_ dom F /\ dom F C_ (`'F"B)))
87	86, 41	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (`'F"B) = dom F)
88	87	ineq2d 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> ((`'F"o) i^i (`'F"B)) = ((`'F"o) i^i dom F))
89		cnvimass 4286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (`'F"o) C_ dom F
90		df-ss 2605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((`'F"o) C_ dom F <-> ((`'F"o) i^i dom F) = (`'F"o))
91	89, 90	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((`'F"o) i^i dom F) = (`'F"o)
92	91	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> ((`'F"o) i^i dom F) = (`'F"o))
93	82, 88, 92	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (`'F"(o i^i B)) = (`'F"o))
94	93	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> ((`'F"(o i^i B)) e. J <-> (`'F"o) e. J))
95	79, 94	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) /\ o e. K) -> (A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J -> (`'F"o) e. J))
96	95	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) -> (o e. K -> (A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J -> (`'F"o) e. J)))
97	96	com23 36	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) /\ Fun F) -> (A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J -> (o e. K -> (`'F"o) e. J)))
98	97	expimpd 404	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((Fun F /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) -> (o e. K -> (`'F"o) e. J)))
99	98	r19.21adv 2181	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((Fun F /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) -> A.o e. K (`'F"o) e. J))
100		ffun 4565	. . . . . 6 |- (F:U.J-->B -> Fun F)
101	99, 100	sylani 513	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) -> A.o e. K (`'F"o) e. J))
102	67, 101	jcad 661	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) -> (F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)))
103	63, 102	impbid 574	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) <-> (F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
104		stoig2 10252	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ B C_ U.K) -> U.(subSp` <.B, K>.) = B)
105	104, 13	sylan2b 501	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> U.(subSp` <.B, K>.) = B)
106	105	ad2ant2l 444	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> U.(subSp` <.B, K>.) = B)
107		feq3 4553	. . . . 5 |- (U.(subSp` <.B, K>.) = B -> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) <-> F:U.J-->B))
108	106, 107	syl 12	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) <-> F:U.J-->B))
109	108	anbi1d 679	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J) <-> (F:U.J-->B /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
110	103, 109	bitr4d 590	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> ((F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
111		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
112	111, 12	iscn 9034	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)))
113	112	adantr 425	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:U.J-->Y /\ A.o e. K (`'F"o) e. J)))
114		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.(subSp` <.B, K>.) = U.(subSp` <.B, K>.)
115	111, 114	iscn 9034	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (subSp` <.B, K>.) e. Top) -> (F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
116		stoig3 10253	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ B C_ U.K) -> (subSp` <.B, K>.) e. Top)
117	116, 13	sylan2b 501	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ B C_ Y) -> (subSp` <.B, K>.) e. Top)
118	115, 117	sylan2 500	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (K e. Top /\ B C_ Y)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
119	118	anassrs 489	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ B C_ Y) -> (F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
120	119	adantrl 430	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.B, K>.) /\ A.s e. (subSp` <.B, K>.)(`'F"s) e. J)))
121	110, 113, 120	3bitr4d 609	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (ran F C_ B /\ B C_ Y)) -> (F e. (J Cn K) <-> F e. (J Cn (subSp` <.B, K>.))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  ivthALT 15454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-topsp 8862  df-cn 9030  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain