Theorem cnsubrglem 18336

Description: Lemma for resubdrg 18511 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubrglem	|- A e. (SubRing ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 18335	. 2 |- A e. (SubGrp ` ℂfld )
6		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
7	6	rgen2a 2868	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A
8		cnring 18308	. . 3 |- ℂfld e. Ring
9		cnfldbas 18292	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
10		cnfld1 18311	. . . 4 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
11		cnfldmul 18294	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
12	9, 10, 11	issubrg2 17317	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ( A e. (SubRing ` ℂfld ) <-> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ 1 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A ) ) )
13	8, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) <-> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ 1 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A ) )
14	5, 4, 7, 13	mpbir3an 1177	1 |- A e. (SubRing ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   e. wcel 1802   A.wral 2791   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   1c1 9491   + caddc 9493   x. cmul 9495   -ucneg 9806  SubGrpcsubg 16064   Ringcrg 17066  SubRingcsubrg 17293  ℂ_fldccnfld 18288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-cnfld 18289

This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  18337  zsubrg  18339  gzsubrg  18340