MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubmlem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubmlem 18227
Description: Lemma for nn0subm 18234 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubmlem.3  |-  0  e.  A
Assertion
Ref Expression
cnsubmlem  |-  A  e.  (SubMnd ` fld )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubmlem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
21ssriv 3501 . 2  |-  A  C_  CC
3 cnsubmlem.3 . 2  |-  0  e.  A
4 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
54rgen2a 2884 . 2  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  +  y )  e.  A
6 cnrng 18204 . . 3  |-fld  e.  Ring
7 rngmnd 16988 . . 3  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
8 cnfldbas 18188 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
9 cnfld0 18206 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
10 cnfldadd 18189 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
118, 9, 10issubm 15781 . . 3  |-  (fld  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd ` fld ) 
<->  ( A  C_  CC  /\  0  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  +  y )  e.  A ) ) )
126, 7, 11mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  (SubMnd ` fld )  <->  ( A  C_  CC  /\  0  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  +  y
)  e.  A ) )
132, 3, 5, 12mpbir3an 1173 1  |-  A  e.  (SubMnd ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484   Mndcmnd 15715  SubMndcsubmnd 15769   Ringcrg 16979  ℂfldccnfld 18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-cring 16982  df-cnfld 18185
This theorem is referenced by:  nn0subm  18234  rege0subm  18235
  Copyright terms: Public domain W3C validator