MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubglem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnsubglem 19072
Description: Lemma for resubdrg 19231 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubglem.4  |-  B  e.  A
Assertion
Ref Expression
cnsubglem  |-  A  e.  (SubGrp ` fld )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem cnsubglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
21ssriv 3448 . 2  |-  A  C_  CC
3 cnsubglem.4 . . 3  |-  B  e.  A
43ne0ii 3750 . 2  |-  A  =/=  (/)
5 cnsubglem.2 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
65ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  +  y )  e.  A )
7 cnfldneg 19049 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  x )  =  -u x )
81, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invg ` fld ) `  x )  =  -u x )
9 cnsubglem.3 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
108, 9eqeltrd 2540 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invg ` fld ) `  x )  e.  A
)
116, 10jca 539 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  +  y
)  e.  A  /\  ( ( invg ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1211rgen 2759 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  +  y )  e.  A  /\  (
( invg ` fld ) `  x )  e.  A
)
13 cnring 19045 . . . 4  |-fld  e.  Ring
14 ringgrp 17840 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-fld  e.  Grp
16 cnfldbas 19029 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
17 cnfldadd 19030 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
18 eqid 2462 . . . 4  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
1916, 17, 18issubg2 16887 . . 3  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp ` fld ) 
<->  ( A  C_  CC  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  +  y
)  e.  A  /\  ( ( invg ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
2015, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp ` fld )  <->  ( A  C_  CC  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  +  y
)  e.  A  /\  ( ( invg ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
212, 4, 12, 20mpbir3an 1196 1  |-  A  e.  (SubGrp ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568    + caddc 9573   -ucneg 9892   Grpcgrp 16724   invgcminusg 16725  SubGrpcsubg 16866   Ringcrg 17835  ℂfldccnfld 19025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-subg 16869  df-cmn 17487  df-mgp 17779  df-ring 17837  df-cring 17838  df-cnfld 19026
This theorem is referenced by:  cnsubrglem  19073  zringmulg  19102  remulg  19230
  Copyright terms: Public domain W3C validator