MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 18954
Description: Lemma for resubdrg 19107 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubrglem.4  |-  1  e.  A
cnsubrglem.5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnsubrglem.6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
3 cnsubglem.3 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
4 cnsubrglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
5 cnsubrglem.5 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 18953 . 2  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
7 cndrng 18932 . . . 4  |-fld  e.  DivRing
8 eqid 2429 . . . . 5  |-  (flds  A )  =  (flds  A )
9 cnfld0 18927 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` fld )
10 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
118, 9, 10issubdrg 17968 . . . 4  |-  ( (fld  e.  DivRing 
/\  A  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(flds  A
)  e.  DivRing  <->  A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
127, 6, 11mp2an 676 . . 3  |-  ( (flds  A )  e.  DivRing 
<-> 
A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( (
invr ` fld ) `  x )  e.  A )
13 cnring 18925 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
141ssriv 3474 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
15 ssdif 3606 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
1716sseli 3466 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
18 cnfldbas 18909 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1918, 9, 7drngui 17916 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
20 cnflddiv 18933 . . . . . 6  |-  /  =  (/r
` fld
)
21 cnfld1 18928 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2218, 19, 20, 21, 10ringinvdv 17857 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
2313, 17, 22sylancr 667 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
24 eldifsn 4128 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  0
) )
25 cnsubrglem.6 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
2624, 25sylbi 198 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  A
)
2723, 26eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
2812, 27mprgbir 2796 . 2  |-  (flds  A )  e.  DivRing
296, 28pm3.2i 456 1  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   -ucneg 9860    / cdiv 10268   ↾s cress 15085   Ringcrg 17715   invrcinvr 17834   DivRingcdr 17910  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906
This theorem is referenced by:  qsubdrg  18955  resubdrg  19107
  Copyright terms: Public domain W3C validator