Theorem cnsubdrglem 17990

Description: Lemma for resubdrg 18164 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
cnsubrglem.6	|- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	|- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 17989	. 2 |- A e. (SubRing ` ℂfld )
7		cndrng 17971	. . . 4 |- ℂfld e. DivRing
8		eqid 2454	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s A )
9		cnfld0 17966	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		eqid 2454	. . . . 5 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invr ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubdrg 17014	. . . 4 |- ( (ℂfld e. DivRing /\ A e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
12	7, 6, 11	mp2an 672	. . 3 |- ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
13		cnrng 17964	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
14	1	ssriv 3469	. . . . . . 7 |- A C_ CC
15		ssdif 3600	. . . . . . 7 |- ( A C_ CC -> ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } )
17	16	sseli 3461	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
18		cnfldbas 17948	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19	18, 9, 7	drngui 16962	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
20		cnflddiv 17972	. . . . . 6 |- / = (/r ` ℂfld )
21		cnfld1 17967	. . . . . 6 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
22	18, 19, 20, 21, 10	rnginvdv 16910	. . . . 5 |- ( (ℂfld e. Ring /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
23	13, 17, 22	sylancr 663	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
24		eldifsn 4109	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) <-> ( x e. A /\ x =/= 0 ) )
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )
26	24, 25	sylbi 195	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( 1 / x ) e. A )
27	23, 26	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
28	12, 27	mprgbir 2904	. 2 |- (ℂfld ↾s A ) e. DivRing
29	6, 28	pm3.2i 455	1 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   \ cdif 3434   C_ wss 3437   {csn 3986   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   x. cmul 9399   -ucneg 9708   / cdiv 10105   ↾_s cress 14294   Ringcrg 16769   invrcinvr 16887   DivRingcdr 16956  SubRingcsubrg 16985  ℂ_fldccnfld 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-cnfld 17945

This theorem is referenced by:  qsubdrg  17991  resubdrg  18164