Theorem cnsubdrglem 18234

Description: Lemma for resubdrg 18408 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
cnsubrglem.6	|- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	|- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 18233	. 2 |- A e. (SubRing ` ℂfld )
7		cndrng 18215	. . . 4 |- ℂfld e. DivRing
8		eqid 2467	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s A )
9		cnfld0 18210	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		eqid 2467	. . . . 5 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invr ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubdrg 17234	. . . 4 |- ( (ℂfld e. DivRing /\ A e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
12	7, 6, 11	mp2an 672	. . 3 |- ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
13		cnrng 18208	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
14	1	ssriv 3508	. . . . . . 7 |- A C_ CC
15		ssdif 3639	. . . . . . 7 |- ( A C_ CC -> ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } )
17	16	sseli 3500	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
18		cnfldbas 18192	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19	18, 9, 7	drngui 17182	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
20		cnflddiv 18216	. . . . . 6 |- / = (/r ` ℂfld )
21		cnfld1 18211	. . . . . 6 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
22	18, 19, 20, 21, 10	rnginvdv 17124	. . . . 5 |- ( (ℂfld e. Ring /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
23	13, 17, 22	sylancr 663	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
24		eldifsn 4152	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) <-> ( x e. A /\ x =/= 0 ) )
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )
26	24, 25	sylbi 195	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( 1 / x ) e. A )
27	23, 26	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
28	12, 27	mprgbir 2828	. 2 |- (ℂfld ↾s A ) e. DivRing
29	6, 28	pm3.2i 455	1 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   -ucneg 9802   / cdiv 10202   ↾_s cress 14484   Ringcrg 16983   invrcinvr 17101   DivRingcdr 17176  SubRingcsubrg 17205  ℂ_fldccnfld 18188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-subg 15990  df-cmn 16593  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-subrg 17207  df-cnfld 18189

This theorem is referenced by:  qsubdrg  18235  resubdrg  18408