MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 17990
Description: Lemma for resubdrg 18164 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubrglem.4  |-  1  e.  A
cnsubrglem.5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnsubrglem.6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
3 cnsubglem.3 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
4 cnsubrglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
5 cnsubrglem.5 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 17989 . 2  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
7 cndrng 17971 . . . 4  |-fld  e.  DivRing
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  (flds  A )  =  (flds  A )
9 cnfld0 17966 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` fld )
10 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
118, 9, 10issubdrg 17014 . . . 4  |-  ( (fld  e.  DivRing 
/\  A  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(flds  A
)  e.  DivRing  <->  A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
127, 6, 11mp2an 672 . . 3  |-  ( (flds  A )  e.  DivRing 
<-> 
A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( (
invr ` fld ) `  x )  e.  A )
13 cnrng 17964 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
141ssriv 3469 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
15 ssdif 3600 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
1716sseli 3461 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
18 cnfldbas 17948 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1918, 9, 7drngui 16962 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
20 cnflddiv 17972 . . . . . 6  |-  /  =  (/r
` fld
)
21 cnfld1 17967 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2218, 19, 20, 21, 10rnginvdv 16910 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
2313, 17, 22sylancr 663 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
24 eldifsn 4109 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  0
) )
25 cnsubrglem.6 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
2624, 25sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  A
)
2723, 26eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
2812, 27mprgbir 2904 . 2  |-  (flds  A )  e.  DivRing
296, 28pm3.2i 455 1  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799    \ cdif 3434    C_ wss 3437   {csn 3986   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399   -ucneg 9708    / cdiv 10105   ↾s cress 14294   Ringcrg 16769   invrcinvr 16887   DivRingcdr 16956  SubRingcsubrg 16985  ℂfldccnfld 17944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-cnfld 17945
This theorem is referenced by:  qsubdrg  17991  resubdrg  18164
  Copyright terms: Public domain W3C validator