Theorem cnsubdrglem 18954

Description: Lemma for resubdrg 19107 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
cnsubrglem.6	|- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	|- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 18953	. 2 |- A e. (SubRing ` ℂfld )
7		cndrng 18932	. . . 4 |- ℂfld e. DivRing
8		eqid 2429	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s A )
9		cnfld0 18927	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		eqid 2429	. . . . 5 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invr ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubdrg 17968	. . . 4 |- ( (ℂfld e. DivRing /\ A e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A ) )
12	7, 6, 11	mp2an 676	. . 3 |- ( (ℂfld ↾s A ) e. DivRing <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
13		cnring 18925	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
14	1	ssriv 3474	. . . . . . 7 |- A C_ CC
15		ssdif 3606	. . . . . . 7 |- ( A C_ CC -> ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } )
17	16	sseli 3466	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
18		cnfldbas 18909	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19	18, 9, 7	drngui 17916	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
20		cnflddiv 18933	. . . . . 6 |- / = (/r ` ℂfld )
21		cnfld1 18928	. . . . . 6 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 17857	. . . . 5 |- ( (ℂfld e. Ring /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
23	13, 17, 22	sylancr 667	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) = ( 1 / x ) )
24		eldifsn 4128	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) <-> ( x e. A /\ x =/= 0 ) )
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. A )
26	24, 25	sylbi 198	. . . 4 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( 1 / x ) e. A )
27	23, 26	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` x ) e. A )
28	12, 27	mprgbir 2796	. 2 |- (ℂfld ↾s A ) e. DivRing
29	6, 28	pm3.2i 456	1 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s A ) e. DivRing )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   \ cdif 3439   C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   -ucneg 9860   / cdiv 10268   ↾_s cress 15085   Ringcrg 17715   invrcinvr 17834   DivRingcdr 17910  SubRingcsubrg 17939  ℂ_fldccnfld 18905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906

This theorem is referenced by:  qsubdrg  18955  resubdrg  19107