Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 18954
 Description: Lemma for resubdrg 19107 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1
cnsubglem.2
cnsubglem.3
cnsubrglem.4
cnsubrglem.5
cnsubrglem.6
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem SubRingfld flds
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3
2 cnsubglem.2 . . 3
3 cnsubglem.3 . . 3
4 cnsubrglem.4 . . 3
5 cnsubrglem.5 . . 3
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 18953 . 2 SubRingfld
7 cndrng 18932 . . . 4 fld
8 eqid 2429 . . . . 5 flds flds
9 cnfld0 18927 . . . . 5 fld
10 eqid 2429 . . . . 5 fld fld
118, 9, 10issubdrg 17968 . . . 4 fld SubRingfld flds fld
127, 6, 11mp2an 676 . . 3 flds fld
13 cnring 18925 . . . . 5 fld
141ssriv 3474 . . . . . . 7
15 ssdif 3606 . . . . . . 7
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6
1716sseli 3466 . . . . 5
18 cnfldbas 18909 . . . . . 6 fld
1918, 9, 7drngui 17916 . . . . . 6 Unitfld
20 cnflddiv 18933 . . . . . 6 /rfld
21 cnfld1 18928 . . . . . 6 fld
2218, 19, 20, 21, 10ringinvdv 17857 . . . . 5 fld fld
2313, 17, 22sylancr 667 . . . 4 fld
24 eldifsn 4128 . . . . 5
25 cnsubrglem.6 . . . . 5
2624, 25sylbi 198 . . . 4
2723, 26eqeltrd 2517 . . 3 fld
2812, 27mprgbir 2796 . 2 flds
296, 28pm3.2i 456 1 SubRingfld flds
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782   cdif 3439   wss 3442  csn 4002  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543  cneg 9860   cdiv 10268   ↾s cress 15085  crg 17715  cinvr 17834  cdr 17910  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906 This theorem is referenced by:  qsubdrg  18955  resubdrg  19107
 Copyright terms: Public domain W3C validator