MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 18234
Description: Lemma for resubdrg 18408 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubrglem.4  |-  1  e.  A
cnsubrglem.5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnsubrglem.6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
3 cnsubglem.3 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
4 cnsubrglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
5 cnsubrglem.5 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 18233 . 2  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
7 cndrng 18215 . . . 4  |-fld  e.  DivRing
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  (flds  A )  =  (flds  A )
9 cnfld0 18210 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` fld )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
118, 9, 10issubdrg 17234 . . . 4  |-  ( (fld  e.  DivRing 
/\  A  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(flds  A
)  e.  DivRing  <->  A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
127, 6, 11mp2an 672 . . 3  |-  ( (flds  A )  e.  DivRing 
<-> 
A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( (
invr ` fld ) `  x )  e.  A )
13 cnrng 18208 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
141ssriv 3508 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
15 ssdif 3639 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
1716sseli 3500 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
18 cnfldbas 18192 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1918, 9, 7drngui 17182 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
20 cnflddiv 18216 . . . . . 6  |-  /  =  (/r
` fld
)
21 cnfld1 18211 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2218, 19, 20, 21, 10rnginvdv 17124 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
2313, 17, 22sylancr 663 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
24 eldifsn 4152 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  0
) )
25 cnsubrglem.6 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
2624, 25sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  A
)
2723, 26eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
2812, 27mprgbir 2828 . 2  |-  (flds  A )  e.  DivRing
296, 28pm3.2i 455 1  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   -ucneg 9802    / cdiv 10202   ↾s cress 14484   Ringcrg 16983   invrcinvr 17101   DivRingcdr 17176  SubRingcsubrg 17205  ℂfldccnfld 18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-subg 15990  df-cmn 16593  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-subrg 17207  df-cnfld 18189
This theorem is referenced by:  qsubdrg  18235  resubdrg  18408
  Copyright terms: Public domain W3C validator