Theorem cnss 15892

Description: A continuous function into a subspace is continuous into the larger space.

Hypothesis

Ref	Expression
cnss.1	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnss	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (A C_ Y /\ F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)))) -> F e. (J Cn K))

Proof of Theorem cnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoig2 10252	. . . . . . . 8 |- ((K e. Top /\ A C_ U.K) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
2		cnss.1	. . . . . . . . 9 |- Y = U.K
3	2	sseq2i 2642	. . . . . . . 8 |- (A C_ Y <-> A C_ U.K)
4	1, 3	sylan2b 501	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
5	4	adantll 428	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
6		feq3 4553	. . . . . 6 |- (U.(subSp` <.A, K>.) = A -> (F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) <-> F:U.J-->A))
7	5, 6	syl 12	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> (F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) <-> F:U.J-->A))
8	7	anbi1d 679	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> ((F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) <-> (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)))
9		fss 4571	. . . . . . . 8 |- ((F:U.J-->A /\ A C_ Y) -> F:U.J-->Y)
10	9	expcom 403	. . . . . . 7 |- (A C_ Y -> (F:U.J-->A -> F:U.J-->Y))
11	10	adantrd 427	. . . . . 6 |- (A C_ Y -> ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> F:U.J-->Y))
12	11	adantl 424	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> F:U.J-->Y))
13		ffun 4565	. . . . . . . . . . . 12 |- (F:U.J-->A -> Fun F)
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> Fun F)
15	14	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> Fun F)
16		inpreima 15682	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (`'F"(u i^i A)) = ((`'F"u) i^i (`'F"A)))
17	15, 16	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> (`'F"(u i^i A)) = ((`'F"u) i^i (`'F"A)))
18		imassrn 4278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (`'F"u) C_ ran `' F
19	18	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:U.J-->A -> (`'F"u) C_ ran `' F)
20		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F:U.J-->A -> dom F = U.J)
21		dfdm4 4151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom F = ran `' F
22	20, 21	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:U.J-->A -> ran `' F = U.J)
23	19, 22	sseqtrd 2653	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:U.J-->A -> (`'F"u) C_ U.J)
24		fimacnv 4783	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:U.J-->A -> (`'F"A) = U.J)
25	23, 24	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . 12 |- (F:U.J-->A -> (`'F"u) C_ (`'F"A))
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> (`'F"u) C_ (`'F"A))
27	26	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> (`'F"u) C_ (`'F"A))
28		df-ss 2605	. . . . . . . . . 10 |- ((`'F"u) C_ (`'F"A) <-> ((`'F"u) i^i (`'F"A)) = (`'F"u))
29	27, 28	sylib 215	. . . . . . . . 9 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> ((`'F"u) i^i (`'F"A)) = (`'F"u))
30	17, 29	eqtr2d 1926	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> (`'F"u) = (`'F"(u i^i A)))
31		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (u i^i A) -> (`'F"v) = (`'F"(u i^i A)))
32	31	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (u i^i A) -> ((`'F"v) e. J <-> (`'F"(u i^i A)) e. J))
33	32	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . 11 |- (((u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> (`'F"(u i^i A)) e. J)
34		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u i^i A) = (u i^i A)
35		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v = u -> (v i^i A) = (u i^i A))
36	35	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = u -> ((u i^i A) = (v i^i A) <-> (u i^i A) = (u i^i A)))
37	36	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u e. K /\ (u i^i A) = (u i^i A)) -> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A))
38	34, 37	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u e. K -> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A))
39	38	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. Top /\ A C_ Y) /\ u e. K) -> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A))
40		ssexg 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A C_ Y /\ Y e. _V) -> A e. _V)
41		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
42	41, 2	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (K e. Top -> Y e. _V)
43	40, 42	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ Y /\ K e. Top) -> A e. _V)
44	43	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> A e. _V)
45		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
46	45	inex1 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u i^i A) e. _V
47		issubspt 10247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. Top /\ (u i^i A) e. _V /\ A e. _V) -> ((u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A)))
48	46, 47	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. Top /\ A e. _V) -> ((u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A)))
49	44, 48	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> ((u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A)))
50	49	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. Top /\ A C_ Y) /\ u e. K) -> ((u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.v e. K (u i^i A) = (v i^i A)))
51	39, 50	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. Top /\ A C_ Y) /\ u e. K) -> (u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.))
52	51	adantlll 432	. . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ u e. K) -> (u i^i A) e. (subSp` <.A, K>.))
53	33, 52	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ u e. K) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> (`'F"(u i^i A)) e. J)
54	53	an1rs 547	. . . . . . . . 9 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) /\ u e. K) -> (`'F"(u i^i A)) e. J)
55	54	adantlrl 434	. . . . . . . 8 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> (`'F"(u i^i A)) e. J)
56	30, 55	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) /\ u e. K) -> (`'F"u) e. J)
57	56	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) /\ (F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)) -> A.u e. K (`'F"u) e. J)
58	57	ex 402	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> A.u e. K (`'F"u) e. J))
59	12, 58	jcad 661	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> ((F:U.J-->A /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> (F:U.J-->Y /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
60	8, 59	sylbid 220	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> ((F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J) -> (F:U.J-->Y /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
61		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.J = U.J
62		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.(subSp` <.A, K>.) = U.(subSp` <.A, K>.)
63	61, 62	iscn 9034	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (subSp` <.A, K>.) e. Top) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)))
64		stoig3 10253	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ A C_ U.K) -> (subSp` <.A, K>.) e. Top)
65	64, 3	sylan2b 501	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> (subSp` <.A, K>.) e. Top)
66	63, 65	sylan2 500	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (K e. Top /\ A C_ Y)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)))
67	66	anassrs 489	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:U.J-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.v e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"v) e. J)))
68	61, 2	iscn 9034	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:U.J-->Y /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
69	68	adantr 425	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:U.J-->Y /\ A.u e. K (`'F"u) e. J)))
70	60, 67, 69	3imtr4d 602	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) -> F e. (J Cn K)))
71	70	impr 422	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (A C_ Y /\ F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)))) -> F e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  "cima 3989  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  reparphtlem2 16064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-topsp 8862  df-cn 9030  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain