Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Unicode version

Theorem cnsrplycl 35747
 Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s SubRingfld
cnsrplycl.p Poly
cnsrplycl.x
cnsrplycl.c
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 SubRingfld
3 cnfldbas 18913 . . . . . . 7 fld
43subrgss 17948 . . . . . 6 SubRingfld
52, 4syl 17 . . . . 5
6 plyss 23029 . . . . 5 Poly Poly
71, 5, 6syl2anc 665 . . . 4 Poly Poly
8 cnsrplycl.p . . . 4 Poly
97, 8sseldd 3471 . . 3 Poly
10 cnsrplycl.x . . . 4
115, 10sseldd 3471 . . 3
12 eqid 2429 . . . 4 coeff coeff
13 eqid 2429 . . . 4 deg deg
1412, 13coeid2 23069 . . 3 Poly degcoeff
159, 11, 14syl2anc 665 . 2 degcoeff
16 fzfid 12183 . . 3 deg
172adantr 466 . . . 4 deg SubRingfld
18 subrgsubg 17953 . . . . . . . 8 SubRingfld SubGrpfld
19 cnfld0 18931 . . . . . . . . 9 fld
2019subg0cl 16780 . . . . . . . 8 SubGrpfld
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7
2212coef2 23061 . . . . . . 7 Poly coeff
239, 21, 22syl2anc 665 . . . . . 6 coeff
2423adantr 466 . . . . 5 deg coeff
25 elfznn0 11885 . . . . . 6 deg
2625adantl 467 . . . . 5 deg
2724, 26ffvelrnd 6038 . . . 4 deg coeff
2810adantr 466 . . . . 5 deg
2917, 28, 26cnsrexpcl 35745 . . . 4 deg
30 cnfldmul 18915 . . . . 5 fld
3130subrgmcl 17959 . . . 4 SubRingfld coeff coeff
3217, 27, 29, 31syl3anc 1264 . . 3 deg coeff
332, 16, 32fsumcnsrcl 35746 . 2 degcoeff
3415, 33eqeltrd 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wss 3442  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538   cmul 9543  cn0 10869  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730  SubGrpcsubg 16766  SubRingcsubrg 17943  ℂfldccnfld 18909  Polycply 23014  coeffccoe 23016  degcdgr 23017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-starv 15168  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-unif 15176  df-0g 15303  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-grp 16628  df-subg 16769  df-cmn 17371  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-ring 17721  df-cring 17722  df-subrg 17945  df-cnfld 18910  df-0p 22513  df-ply 23018  df-coe 23020  df-dgr 23021 This theorem is referenced by:  rngunsnply  35753
 Copyright terms: Public domain W3C validator