Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Unicode version

Theorem cnsrexpcl 31355
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
cnsrexpcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
cnsrexpcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
2 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ 0 ) )
32eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ 0 )  e.  S ) )
43imbi2d 314 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S ) ) )
5 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ b
) )
65eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ b )  e.  S ) )
76imbi2d 314 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ b
)  e.  S ) ) )
8 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ (
b  +  1 ) ) )
98eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S ) )
109imbi2d 314 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
11 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( a  =  Y  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ Y
) )
1211eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  Y  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ Y )  e.  S
) )
1312imbi2d 314 . . 3  |-  ( a  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) ) )
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cnfldbas 18619 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1615subrgss 17625 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  S  C_  CC )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
1917, 18sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2019exp0d 12286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
21 cnfld1 18638 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2221subrg1cl 17632 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  e.  S )
2314, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
2420, 23eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S )
25193ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  CC )
26 simp1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  b  e.  NN0 )
2725, 26expp1d 12293 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( X ^
b )  x.  X
) )
28143ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
29 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ b )  e.  S )
30183ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  S )
31 cnfldmul 18621 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3231subrgmcl 17636 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubRing ` fld )  /\  ( X ^ b )  e.  S  /\  X  e.  S )  ->  (
( X ^ b
)  x.  X )  e.  S )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ( X ^ b )  x.  X )  e.  S
)
3427, 33eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S )
35343exp 1193 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( X ^
b )  e.  S  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
3635a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 10955 . 2  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) )
381, 37mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   NN0cn0 10791   ^cexp 12148  SubRingcsubrg 17620  ℂfldccnfld 18615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-subg 16397  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-cnfld 18616
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  31357
  Copyright terms: Public domain W3C validator