Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Unicode version

Theorem cnsrexpcl 29663
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
cnsrexpcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
cnsrexpcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
2 oveq2 6201 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ 0 ) )
32eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ 0 )  e.  S ) )
43imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S ) ) )
5 oveq2 6201 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ b
) )
65eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ b )  e.  S ) )
76imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ b
)  e.  S ) ) )
8 oveq2 6201 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ (
b  +  1 ) ) )
98eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
11 oveq2 6201 . . . . 5  |-  ( a  =  Y  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ Y
) )
1211eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( a  =  Y  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ Y )  e.  S
) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) ) )
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cnfldbas 17940 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1615subrgss 16981 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  S  C_  CC )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
1917, 18sseldd 3458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2019exp0d 12112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
21 cnfld1 17959 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2221subrg1cl 16988 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  e.  S )
2314, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
2420, 23eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S )
25193ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  CC )
26 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  b  e.  NN0 )
2725, 26expp1d 12119 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( X ^
b )  x.  X
) )
28143ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
29 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ b )  e.  S )
30183ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  S )
31 cnfldmul 17942 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3231subrgmcl 16992 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubRing ` fld )  /\  ( X ^ b )  e.  S  /\  X  e.  S )  ->  (
( X ^ b
)  x.  X )  e.  S )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ( X ^ b )  x.  X )  e.  S
)
3427, 33eqeltrd 2539 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S )
35343exp 1187 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( X ^
b )  e.  S  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
3635a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 10842 . 2  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) )
381, 37mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391   NN0cn0 10683   ^cexp 11975  SubRingcsubrg 16976  ℂfldccnfld 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-subg 15789  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-subrg 16978  df-cnfld 17937
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  29665
  Copyright terms: Public domain W3C validator