Theorem cnrsfin 14868

Description: A mapping remains continuous when the topology associated to its domain is replaced by a finer one.

Assertion

Ref	Expression
cnrsfin	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J C_ K) -> F e. (K Cn L)))

Proof of Theorem cnrsfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- U.J = U.J
2		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- U.L = U.L
3	1, 2	iscn 9034	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
4	3	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
5	4	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J C_ K) /\ U.J = U.K) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
6		feq2 4552	. . . . . . . . 9 |- (U.J = U.K -> (F:U.J-->U.L <-> F:U.K-->U.L))
7	6	biimpd 170	. . . . . . . 8 |- (U.J = U.K -> (F:U.J-->U.L -> F:U.K-->U.L))
8	7	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J C_ K) /\ U.J = U.K) -> (F:U.J-->U.L -> F:U.K-->U.L))
9		ssel 2615	. . . . . . . . 9 |- (J C_ K -> ((`'F"x) e. J -> (`'F"x) e. K))
10	9	ralimdv 2172	. . . . . . . 8 |- (J C_ K -> (A.x e. L (`'F"x) e. J -> A.x e. L (`'F"x) e. K))
11	10	ad2antlr 441	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J C_ K) /\ U.J = U.K) -> (A.x e. L (`'F"x) e. J -> A.x e. L (`'F"x) e. K))
12	8, 11	anim12d 617	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J C_ K) /\ U.J = U.K) -> ((F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
13	5, 12	sylbid 220	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J C_ K) /\ U.J = U.K) -> (F e. (J Cn L) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
14	13	exp31 407	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (J C_ K -> (U.J = U.K -> (F e. (J Cn L) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))))
15	14	com24 41	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) -> (U.J = U.K -> (J C_ K -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))))
16	15	3impd 1082	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J C_ K) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
17		eqid 1884	. . . 4 |- U.K = U.K
18	17, 2	iscn 9034	. . 3 |- ((K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
19	18	3adant1 894	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
20	16, 19	sylibrd 221	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J C_ K) -> F e. (K Cn L)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  -->wf 3994  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain