Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnrrext Structured version   Unicode version

Theorem cnrrext 28443
Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnrrext  |-fld  e. ℝExt

Proof of Theorem cnrrext
StepHypRef Expression
1 cnnrg 21580 . . 3  |-fld  e. NrmRing
2 cndrng 18767 . . 3  |-fld  e.  DivRing
31, 2pm3.2i 453 . 2  |-  (fld  e. NrmRing  /\fld  e.  DivRing )
4 cnzh 28403 . . 3  |-  ( ZMod
` fld
)  e. NrmMod
5 df-refld 18939 . . . . 5  |- RRfld  =  (flds  RR )
65fveq2i 5852 . . . 4  |-  (chr ` RRfld )  =  (chr `  (flds  RR )
)
7 reofld 28283 . . . . 5  |- RRfld  e. oField
8 ofldchr 28257 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(chr ` RRfld )  =  0 )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  (chr ` RRfld )  =  0
10 resubdrg 18942 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
1110simpli 456 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
12 subrgchr 28237 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  (chr `  (flds  RR ) )  =  (chr
` fld
) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  (chr `  (flds  RR ) )  =  (chr
` fld
)
146, 9, 133eqtr3ri 2440 . . 3  |-  (chr ` fld )  =  0
154, 14pm3.2i 453 . 2  |-  ( ( ZMod ` fld )  e. NrmMod  /\  (chr ` fld )  =  0 )
16 cnfldcusp 22089 . . 3  |-fld  e. CUnifSp
17 eqid 2402 . . . 4  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
1817cnflduss 22088 . . 3  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
1916, 18pm3.2i 453 . 2  |-  (fld  e. CUnifSp  /\  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o.  -  ) ) )
20 cnfldbas 18744 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21 cnmet 21571 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
22 metf 21125 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
23 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )
25 fnresdm 5671 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
27 cnfldds 18750 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
2827reseq1i 5090 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
2926, 28eqtr3i 2433 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
30 eqid 2402 . . 3  |-  ( ZMod
` fld
)  =  ( ZMod
` fld
)
3120, 29, 30isrrext 28433 . 2  |-  (fld  e. ℝExt  <->  ( (fld  e. NrmRing  /\fld  e.  DivRing )  /\  ( ( ZMod
` fld
)  e. NrmMod  /\  (chr ` fld )  =  0 )  /\  (fld  e. CUnifSp  /\  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o.  -  ) ) ) ) )
323, 15, 19, 31mpbir3an 1179 1  |-fld  e. ℝExt
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    X. cxp 4821    |` cres 4825    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    - cmin 9841   abscabs 13216   ↾s cress 14842   distcds 14918   DivRingcdr 17716  SubRingcsubrg 17745   Metcme 18724  metUnifcmetu 18730  ℂfldccnfld 18740   ZModczlm 18838  chrcchr 18839  RRfldcrefld 18938  UnifStcuss 21048  CUnifSpccusp 21092  NrmRingcnrg 21392  NrmModcnlm 21393  oFieldcofld 28239   ℝExt crrext 28427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-toset 15988  df-ps 16154  df-tsr 16155  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-od 16877  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-dvr 17652  df-drng 17718  df-field 17719  df-subrg 17747  df-abv 17786  df-lmod 17834  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-metu 18739  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zlm 18842  df-chr 18843  df-refld 18939  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-flim 20732  df-fcls 20734  df-ust 20995  df-utop 21026  df-uss 21051  df-usp 21052  df-cfilu 21082  df-cusp 21093  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-nm 21395  df-ngp 21396  df-nrg 21398  df-nlm 21399  df-cncf 21674  df-cfil 21986  df-cmet 21988  df-cms 22066  df-omnd 28141  df-ogrp 28142  df-orng 28240  df-ofld 28241  df-rrext 28432
This theorem is referenced by:  sitgclcn  28792
  Copyright terms: Public domain W3C validator