MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrng Structured version   Unicode version

Theorem cnrng 17841
Description: The complex numbers form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrng  |-fld  e.  Ring

Proof of Theorem cnrng
StepHypRef Expression
1 cncrng 17840 . 2  |-fld  e.  CRing
2 crngrng 16658 . 2  |-  (fld  e.  CRing  ->fld  e.  Ring )
31, 2ax-mp 5 1  |-fld  e.  Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   Ringcrg 16648   CRingccrg 16649  ℂfldccnfld 17821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-0g 14383  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-cmn 16282  df-mgp 16595  df-rng 16650  df-cring 16651  df-cnfld 17822
This theorem is referenced by:  cnfld0  17843  cnfld1  17844  cnfldneg  17845  cnfldsub  17847  cndrng  17848  cnflddiv  17849  cnfldinv  17850  cnfldmulg  17851  cnfldexp  17852  cnsrng  17853  cnsubmlem  17864  cnsubglem  17865  cnsubrglem  17866  cnsubdrglem  17867  absabv  17873  gsumfsum  17882  expmhm  17883  nn0srg  17884  rge0srg  17885  expghm  17926  expghmOLD  17927  zrhpsgnmhm  18017  regsumsupp  18055  cnngp  20362  cnfldtgp  20448  cphsubrglem  20699  tdeglem1  21530  tdeglem3  21531  tdeglem4  21532  tdeglem2  21533  plypf1  21683  dvply2  21755  dvnply  21757  taylfvallem  21826  taylf  21829  tayl0  21830  taylpfval  21833  taylply  21837  jensenlem1  22383  jensenlem2  22384  jensen  22385  amgmlem  22386  amgm  22387  wilthlem2  22410  wilthlem3  22411  dchrelbas3  22580  dchrghm  22598  dchrabs  22602  lgseisenlem4  22694  xrge0iifmhm  26372  zringnm  26391  zzsnmOLD  26393  cnzh  26402  rezh  26403  rngunsnply  29533  proot1ex  29572
  Copyright terms: Public domain W3C validator