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Theorem cnrest2r 18903
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
2 cntop2 18857 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
4 restrcl 18773 . . . . . . 7  |-  ( ( Kt  B )  e.  Top  ->  ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
5 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
65restin 18782 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
73, 4, 63syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
87oveq2d 6119 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  =  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
91, 8eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
10 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  Top )
115toptopon 18550 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1210, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 cntop1 18856 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
15 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1615toptopon 18550 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1714, 16sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3583 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K
19 resttopon 18777 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) ) )
2012, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K
) ) )
21 cnf2 18865 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) )  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) )  ->  f : U. J --> ( B  i^i  U. K ) )
2217, 20, 9, 21syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f : U. J
--> ( B  i^i  U. K ) )
23 frn 5577 . . . . . 6  |-  ( f : U. J --> ( B  i^i  U. K )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2518a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( B  i^i  U. K )  C_  U. K
)
26 cnrest2 18902 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( f  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) ) )
2712, 24, 25, 26syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  <->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) ) )
289, 27mpbird 232 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2928ex 434 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  (
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
3029ssrdv 3374 1  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    i^i cin 3339    C_ wss 3340   U.cuni 4103   ran crn 4853   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ↾t crest 14371   Topctop 18510  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-fin 7326  df-fi 7673  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cn 18843
This theorem is referenced by:  invrcn  19767  metdcn  20429  metdscn2  20445  icchmeo  20525  cnrehmeo  20537  evth  20543  reparphti  20581  nmcnc  24103  conpcon  27136  cvxscon  27144  cvmliftlem8  27193  cvmlift2lem9a  27204  cvmlift3lem6  27225
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