Theorem cnrest2r 18903

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	|- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
2		cntop2 18857	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
4		restrcl 18773	. . . . . . 7 |- ( ( K ↾t B ) e. Top -> ( K e. _V /\ B e. _V ) )
5		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
6	5	restin 18782	. . . . . . 7 |- ( ( K e. _V /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
8	7	oveq2d 6119	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) = ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2519	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
10		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. Top )
11	5	toptopon 18550	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
12	10, 11	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
13		cntop1 18856	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
16	15	toptopon 18550	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
17	14, 16	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
18		inss2 3583	. . . . . . . 8 |- ( B i^i U. K ) C_ U. K
19		resttopon 18777	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
20	12, 18, 19	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
21		cnf2 18865	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) /\ f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
23		frn 5577	. . . . . 6 |- ( f : U. J --> ( B i^i U. K ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
25	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( B i^i U. K ) C_ U. K )
26		cnrest2 18902	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran f C_ ( B i^i U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
27	12, 24, 25, 26	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
28	9, 27	mpbird 232	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
29	28	ex 434	. 2 |- ( K e. Top -> ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> f e. ( J Cn K ) ) )
30	29	ssrdv 3374	1 |- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2984   i^i cin 3339   C_ wss 3340   U.cuni 4103   ran crn 4853   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ↾_t crest 14371   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   Cn ccn 18840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-fin 7326  df-fi 7673  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cn 18843

This theorem is referenced by:  invrcn  19767  metdcn  20429  metdscn2  20445  icchmeo  20525  cnrehmeo  20537  evth  20543  reparphti  20581  nmcnc  24103  conpcon  27136  cvxscon  27144  cvmliftlem8  27193  cvmlift2lem9a  27204  cvmlift3lem6  27225