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Theorem cnrest2r 20380
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
2 cntop2 20334 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
32adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
4 restrcl 20250 . . . . . . 7  |-  ( ( Kt  B )  e.  Top  ->  ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
5 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
65restin 20259 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
87oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  =  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
91, 8eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
10 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  Top )
115toptopon 20025 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1210, 11sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 cntop1 20333 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
15 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1615toptopon 20025 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1714, 16sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3644 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K
19 resttopon 20254 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) ) )
2012, 18, 19sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K
) ) )
21 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) )  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) )  ->  f : U. J --> ( B  i^i  U. K ) )
2217, 20, 9, 21syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f : U. J
--> ( B  i^i  U. K ) )
23 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( f : U. J --> ( B  i^i  U. K )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2518a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( B  i^i  U. K )  C_  U. K
)
26 cnrest2 20379 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( f  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) ) )
2712, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  <->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) ) )
289, 27mpbird 240 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2928ex 441 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  (
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
3029ssrdv 3424 1  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320
This theorem is referenced by:  invrcn  21273  metdcn  21936  metdscn2  21952  metdscn2OLD  21967  icchmeo  22047  cnrehmeo  22059  evth  22065  reparphti  22106  nmcnc  26413  conpcon  30030  cvxscon  30038  cvmliftlem8  30087  cvmlift2lem9a  30098  cvmlift3lem6  30119  broucube  32038
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