Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnrest2r 20380
 Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r t

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . 5 t t
2 cntop2 20334 . . . . . . . 8 t t
32adantl 473 . . . . . . 7 t t
4 restrcl 20250 . . . . . . 7 t
5 eqid 2471 . . . . . . . 8
65restin 20259 . . . . . . 7 t t
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6 t t t
87oveq2d 6324 . . . . 5 t t t
91, 8eleqtrd 2551 . . . 4 t t
10 simpl 464 . . . . . 6 t
115toptopon 20025 . . . . . 6 TopOn
1210, 11sylib 201 . . . . 5 t TopOn
13 cntop1 20333 . . . . . . . . 9 t
1413adantl 473 . . . . . . . 8 t
15 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1615toptopon 20025 . . . . . . . 8 TopOn
1714, 16sylib 201 . . . . . . 7 t TopOn
18 inss2 3644 . . . . . . . 8
19 resttopon 20254 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
2012, 18, 19sylancl 675 . . . . . . 7 t t TopOn
21 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn t TopOn t
2217, 20, 9, 21syl3anc 1292 . . . . . 6 t
23 frn 5747 . . . . . 6
2422, 23syl 17 . . . . 5 t
2518a1i 11 . . . . 5 t
26 cnrest2 20379 . . . . 5 TopOn t
2712, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . 4 t t
289, 27mpbird 240 . . 3 t
2928ex 441 . 2 t
3029ssrdv 3424 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cuni 4190   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320 This theorem is referenced by:  invrcn  21273  metdcn  21936  metdscn2  21952  metdscn2OLD  21967  icchmeo  22047  cnrehmeo  22059  evth  22065  reparphti  22106  nmcnc  26413  conpcon  30030  cvxscon  30038  cvmliftlem8  30087  cvmlift2lem9a  30098  cvmlift3lem6  30119  broucube  32038
 Copyright terms: Public domain W3C validator