MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Unicode version

Theorem cnrest2r 20227
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
2 cntop2 20181 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
32adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
4 restrcl 20097 . . . . . . 7  |-  ( ( Kt  B )  e.  Top  ->  ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
5 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
65restin 20106 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
87oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  =  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
91, 8eleqtrd 2510 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
10 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  Top )
115toptopon 19872 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1210, 11sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 cntop1 20180 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
15 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1615toptopon 19872 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1714, 16sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3680 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K
19 resttopon 20101 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) ) )
2012, 18, 19sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K
) ) )
21 cnf2 20189 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) )  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) )  ->  f : U. J --> ( B  i^i  U. K ) )
2217, 20, 9, 21syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f : U. J
--> ( B  i^i  U. K ) )
23 frn 5743 . . . . . 6  |-  ( f : U. J --> ( B  i^i  U. K )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2518a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( B  i^i  U. K )  C_  U. K
)
26 cnrest2 20226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( f  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) ) )
2712, 24, 25, 26syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  <->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) ) )
289, 27mpbird 235 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2928ex 435 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  (
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
3029ssrdv 3467 1  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    i^i cin 3432    C_ wss 3433   U.cuni 4213   ran crn 4846   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ↾t crest 15271   Topctop 19841  TopOnctopon 19842    Cn ccn 20164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-fin 7572  df-fi 7922  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cn 20167
This theorem is referenced by:  invrcn  21119  metdcn  21762  metdscn2  21778  icchmeo  21858  cnrehmeo  21870  evth  21876  reparphti  21914  nmcnc  26174  conpcon  29743  cvxscon  29751  cvmliftlem8  29800  cvmlift2lem9a  29811  cvmlift3lem6  29832  broucube  31678
  Copyright terms: Public domain W3C validator