Theorem cnrest2r 20380

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	|- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
2		cntop2 20334	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
3	2	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
4		restrcl 20250	. . . . . . 7 |- ( ( K ↾t B ) e. Top -> ( K e. _V /\ B e. _V ) )
5		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
6	5	restin 20259	. . . . . . 7 |- ( ( K e. _V /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
8	7	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) = ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2551	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
10		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. Top )
11	5	toptopon 20025	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
12	10, 11	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
13		cntop1 20333	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
16	15	toptopon 20025	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
17	14, 16	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
18		inss2 3644	. . . . . . . 8 |- ( B i^i U. K ) C_ U. K
19		resttopon 20254	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
20	12, 18, 19	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
21		cnf2 20342	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) /\ f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
23		frn 5747	. . . . . 6 |- ( f : U. J --> ( B i^i U. K ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
25	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( B i^i U. K ) C_ U. K )
26		cnrest2 20379	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran f C_ ( B i^i U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
27	12, 24, 25, 26	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
28	9, 27	mpbird 240	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
29	28	ex 441	. 2 |- ( K e. Top -> ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> f e. ( J Cn K ) ) )
30	29	ssrdv 3424	1 |- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   U.cuni 4190   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320

This theorem is referenced by:  invrcn  21273  metdcn  21936  metdscn2  21952  metdscn2OLD  21967  icchmeo  22047  cnrehmeo  22059  evth  22065  reparphti  22106  nmcnc  26413  conpcon  30030  cvxscon  30038  cvmliftlem8  30087  cvmlift2lem9a  30098  cvmlift3lem6  30119  broucube  32038