Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnrest2 20302
 Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2 TopOn t

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20256 . . . 4
21a1i 11 . . 3 TopOn
3 eqid 2451 . . . . . . . 8
4 eqid 2451 . . . . . . . 8
53, 4cnf 20262 . . . . . . 7
6 ffn 5728 . . . . . . 7
75, 6syl 17 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5 TopOn
9 simp2 1009 . . . . 5 TopOn
108, 9jctird 547 . . . 4 TopOn
11 df-f 5586 . . . 4
1210, 11syl6ibr 231 . . 3 TopOn
132, 12jcad 536 . 2 TopOn
14 cntop1 20256 . . . . 5 t
1514adantl 468 . . . 4 TopOn t
163toptopon 19948 . . . . . 6 TopOn
1715, 16sylib 200 . . . . 5 TopOn t TopOn
18 resttopon 20177 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
19183adant2 1027 . . . . . 6 TopOn t TopOn
2019adantr 467 . . . . 5 TopOn t t TopOn
21 simpr 463 . . . . 5 TopOn t t
22 cnf2 20265 . . . . 5 TopOn t TopOn t
2317, 20, 21, 22syl3anc 1268 . . . 4 TopOn t
2415, 23jca 535 . . 3 TopOn t
2524ex 436 . 2 TopOn t
26 vex 3048 . . . . . . . . 9
2726inex1 4544 . . . . . . . 8
2827a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
29 simpl1 1011 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
30 toponmax 19943 . . . . . . . . . 10 TopOn
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
32 simpl3 1013 . . . . . . . . 9 TopOn
3331, 32ssexd 4550 . . . . . . . 8 TopOn
34 elrest 15326 . . . . . . . 8 TopOn t
3529, 33, 34syl2anc 667 . . . . . . 7 TopOn t
36 imaeq2 5164 . . . . . . . . 9
3736eleq1d 2513 . . . . . . . 8
3837adantl 468 . . . . . . 7 TopOn
3928, 35, 38ralxfr2d 4616 . . . . . 6 TopOn t
40 simplrr 771 . . . . . . . . . 10 TopOn
41 ffun 5731 . . . . . . . . . 10
42 inpreima 6007 . . . . . . . . . 10
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . 9 TopOn
44 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . . 12
45 cnvimarndm 5189 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45sseqtr4i 3465 . . . . . . . . . . 11
47 simpll2 1048 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
48 imass2 5204 . . . . . . . . . . . 12
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn
5046, 49syl5ss 3443 . . . . . . . . . 10 TopOn
51 df-ss 3418 . . . . . . . . . 10
5250, 51sylib 200 . . . . . . . . 9 TopOn
5343, 52eqtrd 2485 . . . . . . . 8 TopOn
5453eleq1d 2513 . . . . . . 7 TopOn
5554ralbidva 2824 . . . . . 6 TopOn
56 simprr 766 . . . . . . . 8 TopOn
5756, 32fssd 5738 . . . . . . 7 TopOn
5857biantrurd 511 . . . . . 6 TopOn
5939, 55, 583bitrrd 284 . . . . 5 TopOn t
6056biantrurd 511 . . . . 5 TopOn t t
6159, 60bitrd 257 . . . 4 TopOn t
62 simprl 764 . . . . . 6 TopOn
6362, 16sylib 200 . . . . 5 TopOn TopOn
64 iscn 20251 . . . . 5 TopOn TopOn
6563, 29, 64syl2anc 667 . . . 4 TopOn
6619adantr 467 . . . . 5 TopOn t TopOn
67 iscn 20251 . . . . 5 TopOn t TopOn t t
6863, 66, 67syl2anc 667 . . . 4 TopOn t t
6961, 65, 683bitr4d 289 . . 3 TopOn t
7069ex 436 . 2 TopOn t
7113, 25, 70pm5.21ndd 356 1 TopOn t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  cuni 4198  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319  ctop 19917  TopOnctopon 19918   ccn 20240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243 This theorem is referenced by:  cnrest2r  20303  rncmp  20411  conima  20440  concn  20441  kgencn2  20572  kgencn3  20573  qtoprest  20732  hmeores  20786  symgtgp  21116  submtmd  21119  subgtgp  21120  metdcn2  21857  metdscn2  21874  metdscn2OLD  21889  cnmptre  21955  iimulcn  21966  icchmeo  21969  evth  21987  evth2  21988  lebnumlem2  21990  lebnumlem2OLD  21993  reparphti  22028  efrlim  23895  rmulccn  28734  raddcn  28735  xrge0mulc1cn  28747  cvxpcon  29965  cvxscon  29966  cvmliftmolem1  30004  cvmliftlem8  30015  cvmlift2lem9  30034  cvmlift3lem6  30047  ivthALT  30991  broucube  31974  areacirclem2  32033  cnres2  32095  cnresima  32096  refsumcn  37351  icccncfext  37765
 Copyright terms: Public domain W3C validator