Theorem cnres2 32088

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	|- X = U. J
cnres2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnres2	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, K   x, F   x, X   x, Y   x, A   x, B

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1035	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		simp2l 1033	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ X )
3		cnres2.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	cnrest 20294	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A C_ X ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 666	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
6		simp1r 1032	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. Top )
7		cnres2.2	. . . . 5 |- Y = U. K
8	7	toptopon 19941	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 200	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		df-ima 4846	. . . 4 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
11		simp3r 1036	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
12	3, 7	cnf 20255	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
13		ffun 5729	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> Fun F )
15		fdm 5731	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	1, 12, 15	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> dom F = X )
17	2, 16	sseqtr4d 3468	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ dom F )
18		funimass4 5914	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
19	14, 17, 18	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
20	11, 19	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F " A ) C_ B )
21	10, 20	syl5eqssr 3476	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ran ( F |` A ) C_ B )
22		simp2r 1034	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> B C_ Y )
23		cnrest2 20295	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1267	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
25	5, 24	mpbid 214	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   C_ wss 3403   U.cuni 4197   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   "cima 4836   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ↾_t crest 15312   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Cn ccn 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236

This theorem is referenced by: (None)