Theorem cnres2 29849

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	|- X = U. J
cnres2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnres2	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, K   x, F   x, X   x, Y   x, A   x, B

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1019	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		simp2l 1017	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ X )
3		cnres2.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	cnrest 19545	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A C_ X ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
6		simp1r 1016	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. Top )
7		cnres2.2	. . . . 5 |- Y = U. K
8	7	toptopon 19194	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		df-ima 5005	. . . 4 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
11		simp3r 1020	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
12	3, 7	cnf 19506	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
13		ffun 5724	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
14	1, 12, 13	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> Fun F )
15		fdm 5726	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	1, 12, 15	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> dom F = X )
17	2, 16	sseqtr4d 3534	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ dom F )
18		funimass4 5909	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
19	14, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
20	11, 19	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F " A ) C_ B )
21	10, 20	syl5eqssr 3542	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ran ( F |` A ) C_ B )
22		simp2r 1018	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> B C_ Y )
23		cnrest2 19546	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1223	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
25	5, 24	mpbid 210	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   C_ wss 3469   U.cuni 4238   dom cdm 4992   ran crn 4993   |` cres 4994   "cima 4995   Fun wfun 5573   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ↾_t crest 14665   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   Cn ccn 19484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487

This theorem is referenced by: (None)