Theorem cnres2 31554

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	|- X = U. J
cnres2.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnres2	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, K   x, F   x, X   x, Y   x, A   x, B

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1027	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		simp2l 1025	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ X )
3		cnres2.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	cnrest 20081	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A C_ X ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
6		simp1r 1024	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. Top )
7		cnres2.2	. . . . 5 |- Y = U. K
8	7	toptopon 19728	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 198	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		df-ima 4838	. . . 4 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
11		simp3r 1028	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
12	3, 7	cnf 20042	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
13		ffun 5718	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> Fun F )
15		fdm 5720	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	1, 12, 15	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> dom F = X )
17	2, 16	sseqtr4d 3481	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> A C_ dom F )
18		funimass4 5902	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
19	14, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
20	11, 19	mpbird 234	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F " A ) C_ B )
21	10, 20	syl5eqssr 3489	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ran ( F |` A ) C_ B )
22		simp2r 1026	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> B C_ Y )
23		cnrest2 20082	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1232	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) ) )
25	5, 24	mpbid 212	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ B C_ Y ) /\ ( F e. ( J Cn K ) /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( K ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   A.wral 2756   C_ wss 3416   U.cuni 4193   dom cdm 4825   ran crn 4826   |` cres 4827   "cima 4828   Fun wfun 5565   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ↾_t crest 15037   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   Cn ccn 20020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cn 20023

This theorem is referenced by: (None)