Theorem cnres 15889

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous.

Hypothesis

Ref	Expression
cnres.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cnres	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ X)) -> (F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K))

Proof of Theorem cnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.(subSp` <.A, J>.) = U.(subSp` <.A, J>.)
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.K = U.K
3	1, 2	iscn 9034	. . . . . 6 |- (((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ K e. Top) -> ((F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K) <-> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K /\ A.z e. K (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))))
4		stoig3 10253	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)
5	3, 4	sylan 497	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ A C_ U.J) /\ K e. Top) -> ((F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K) <-> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K /\ A.z e. K (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))))
6	5	an1rs 547	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ U.J) -> ((F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K) <-> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K /\ A.z e. K (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))))
7	6	adantrl 430	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> ((F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K) <-> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K /\ A.z e. K (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))))
8		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- U.J = U.J
9	8, 2	cnf 9038	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
10	9	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
11	10	adantrr 431	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> F:U.J-->U.K)
12		simprr 451	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> A C_ U.J)
13		fssres 4582	. . . . 5 |- ((F:U.J-->U.K /\ A C_ U.J) -> (F |` A):A-->U.K)
14	11, 12, 13	syl11anc 524	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> (F |` A):A-->U.K)
15		stoig2 10252	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> U.(subSp` <.A, J>.) = A)
16	15	feq2d 4557	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K <-> (F |` A):A-->U.K))
17	16	ad2ant2rl 447	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> ((F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K <-> (F |` A):A-->U.K))
18	14, 17	mpbird 213	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> (F |` A):U.(subSp` <.A, J>.)-->U.K)
19		cnima 9044	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ z e. K) -> (`'F"z) e. J)
20	19	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> (z e. K -> (`'F"z) e. J))
21	20	3expa 1067	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> (z e. K -> (`'F"z) e. J))
22	21	imp 377	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) /\ z e. K) -> (`'F"z) e. J)
23	22	adantlrr 435	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) /\ z e. K) -> (`'F"z) e. J)
24		fnfun 4510	. . . . . . . . . 10 |- (F Fn U.J -> Fun F)
25		respreima 15684	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A))
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (F Fn U.J -> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A))
27	26	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((F Fn U.J /\ A C_ U.J) /\ z e. K) -> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A))
28		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- (F:U.J-->U.K -> F Fn U.J)
29	27, 28	sylanl1 509	. . . . . . 7 |- (((F:U.J-->U.K /\ A C_ U.J) /\ z e. K) -> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A))
30	10	anim1i 361	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) /\ A C_ U.J) -> (F:U.J-->U.K /\ A C_ U.J))
31	30	anasss 488	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> (F:U.J-->U.K /\ A C_ U.J))
32	29, 31	sylan 497	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) /\ z e. K) -> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A))
33		ineq1 2789	. . . . . . . 8 |- (y = (`'F"z) -> (y i^i A) = ((`'F"z) i^i A))
34	33	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (y = (`'F"z) -> ((`'(F |` A)"z) = (y i^i A) <-> (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A)))
35	34	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((`'F"z) e. J /\ (`'(F |` A)"z) = ((`'F"z) i^i A)) -> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A))
36	23, 32, 35	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) /\ z e. K) -> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A))
37		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> J e. Top)
38		resexg 4250	. . . . . . . . . 10 |- (F e. (J Cn K) -> (F |` A) e. _V)
39		cnvexg 4424	. . . . . . . . . 10 |- ((F |` A) e. _V -> `'(F |` A) e. _V)
40		imaexg 4279	. . . . . . . . . 10 |- (`'(F |` A) e. _V -> (`'(F |` A)"z) e. _V)
41	38, 39, 40	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (F e. (J Cn K) -> (`'(F |` A)"z) e. _V)
42	41	ad2antrl 442	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> (`'(F |` A)"z) e. _V)
43		ssexg 3457	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ U.J /\ U.J e. _V) -> A e. _V)
44		uniexg 3795	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
45	43, 44	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ U.J /\ J e. Top) -> A e. _V)
46	45	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> A e. _V)
47	46	adantrl 430	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> A e. _V)
48		issubspt 10247	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (`'(F |` A)"z) e. _V /\ A e. _V) -> ((`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A)))
49	37, 42, 47, 48	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> ((`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A)))
50	49	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> ((`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A)))
51	50	adantr 425	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) /\ z e. K) -> ((`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.y e. J (`'(F |` A)"z) = (y i^i A)))
52	36, 51	mpbird 213	. . . 4 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) /\ z e. K) -> (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))
53	52	r19.21aiva 2176	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> A.z e. K (`'(F |` A)"z) e. (subSp` <.A, J>.))
54	7, 18, 53	mpbir2and 802	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ U.J)) -> (F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K))
55		cnres.1	. . . 4 |- X = U.J
56	55	sseq2i 2642	. . 3 |- (A C_ X <-> A C_ U.J)
57	56	biimpi 168	. 2 |- (A C_ X -> A C_ U.J)
58	54, 57	sylanr2 512	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A C_ X)) -> (F |` A) e. ((subSp` <.A, J>.) Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  `'ccnv 3985   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  cnres2 15890  reparphtlem2 16064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-topsp 8862  df-cn 9030  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain