MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Structured version   Unicode version

Theorem cnrehmeo 20643
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 11089 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 20460 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 20481 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 19009 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 19359 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 20498 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2480 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 6203 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2549 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3457 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 20480 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 9444 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 19361 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 19360 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2549 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3457 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 20561 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 19366 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 20559 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 19366 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 12758 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 12705 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5845 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 20596 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3475 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 9442 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 18655 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 14476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2464 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 20603 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2537 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2548 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 12706 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5845 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 20597 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2537 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2548 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 19356 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 19450 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J ) Homeo K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 664 . 2  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
) Homeo K ) )
5655trud 1379 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    C_ wss 3428   <.cop 3983    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   ran crn 4941   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   CCcc 9383   RRcr 9384   _ici 9387    + caddc 9388    x. cmul 9390   (,)cioo 11403   Recre 12690   Imcim 12691   ↾t crest 14463   TopOpenctopn 14464   topGenctg 14480  ℂfldccnfld 17929   Topctop 18616  TopOnctopon 18617    Cn ccn 18946    tX ctx 19251   Homeochmeo 19444   -cn->ccncf 20570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  20644  mbfimaopnlem  21251  tpr2rico  26478
  Copyright terms: Public domain W3C validator