MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Structured version   Unicode version

Theorem cnrehmeo 21747
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 11262 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 21564 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2488 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 21585 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 20083 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 20463 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 21602 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2433 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2502 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3445 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 21584 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 9583 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 20465 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 20464 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2502 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3445 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 21665 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 20470 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 21663 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 20470 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 13149 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 13096 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5904 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 21700 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3463 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 9581 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 19727 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 15050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2417 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 21707 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2490 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2501 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 13097 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5904 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 21701 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2490 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2501 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 20460 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 20554 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J ) Homeo K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 664 . 2  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
) Homeo K ) )
5655trud 1416 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407   T. wtru 1408    e. wcel 1844    C_ wss 3416   <.cop 3980    |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   ran crn 4826   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   CCcc 9522   RRcr 9523   _ici 9526    + caddc 9527    x. cmul 9529   (,)cioo 11584   Recre 13081   Imcim 13082   ↾t crest 15037   TopOpenctopn 15038   topGenctg 15054  ℂfldccnfld 18742   Topctop 19688  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020    tX ctx 20355   Homeochmeo 20548   -cn->ccncf 21674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  21748  mbfimaopnlem  22356  tpr2rico  28360
  Copyright terms: Public domain W3C validator