Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnref1o Structured version   Unicode version

Theorem cnref1o 11286
 Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 9534), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnref1o.1 . . . . 5
2 ovex 6324 . . . . 5
31, 2fnmpt2i 6867 . . . 4
4 1st2nd2 6835 . . . . . . . . 9
54fveq2d 5876 . . . . . . . 8
6 df-ov 6299 . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2479 . . . . . . 7
8 xp1st 6828 . . . . . . . 8
9 xp2nd 6829 . . . . . . . 8
10 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
11 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
13 ovex 6324 . . . . . . . . 9
1410, 12, 1, 13ovmpt2 6437 . . . . . . . 8
158, 9, 14syl2anc 665 . . . . . . 7
167, 15eqtrd 2461 . . . . . 6
178recnd 9658 . . . . . . 7
18 ax-icn 9587 . . . . . . . 8
199recnd 9658 . . . . . . . 8
20 mulcl 9612 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancr 667 . . . . . . 7
2217, 21addcld 9651 . . . . . 6
2316, 22eqeltrd 2508 . . . . 5
2423rgen 2783 . . . 4
25 ffnfv 6055 . . . 4
263, 24, 25mpbir2an 928 . . 3
278, 9jca 534 . . . . . . 7
28 xp1st 6828 . . . . . . . 8
29 xp2nd 6829 . . . . . . . 8
3028, 29jca 534 . . . . . . 7
31 cru 10590 . . . . . . 7
3227, 30, 31syl2an 479 . . . . . 6
33 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
34 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11
3635oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
3734, 36oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
3833, 37eqeq12d 2442 . . . . . . . 8
3938, 16vtoclga 3142 . . . . . . 7
4016, 39eqeqan12d 2443 . . . . . 6
41 1st2nd2 6835 . . . . . . . 8
424, 41eqeqan12d 2443 . . . . . . 7
43 fvex 5882 . . . . . . . 8
44 fvex 5882 . . . . . . . 8
4543, 44opth 4687 . . . . . . 7
4642, 45syl6bb 264 . . . . . 6
4732, 40, 463bitr4d 288 . . . . 5
4847biimpd 210 . . . 4
4948rgen2a 2850 . . 3
50 dff13 6165 . . 3
5126, 49, 50mpbir2an 928 . 2
52 cnre 9628 . . . . . 6
53 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
56 ovex 6324 . . . . . . . . 9
5753, 55, 1, 56ovmpt2 6437 . . . . . . . 8
5857eqeq2d 2434 . . . . . . 7
59582rexbiia 2942 . . . . . 6
6052, 59sylibr 215 . . . . 5
61 fveq2 5872 . . . . . . . 8
62 df-ov 6299 . . . . . . . 8
6361, 62syl6eqr 2479 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2434 . . . . . 6
6564rexxp 4988 . . . . 5
6660, 65sylibr 215 . . . 4
6766rgen 2783 . . 3
68 dffo3 6043 . . 3
6926, 67, 68mpbir2an 928 . 2
70 df-f1o 5599 . 2
7151, 69, 70mpbir2an 928 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773  wrex 2774  cop 3999   cxp 4843   wfn 5587  wf 5588  wf1 5589  wfo 5590  wf1o 5591  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  c1st 6796  c2nd 6797  cc 9526  cr 9527  ci 9530   caddc 9531   cmul 9533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259 This theorem is referenced by:  cnexALT  11287  cnrecnv  13196  cpnnen  14248  cnheiborlem  21871  mbfimaopnlem  22485
 Copyright terms: Public domain W3C validator