Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnpwstotbnd Structured version   Unicode version

Theorem cnpwstotbnd 28649
 Description: A subset of , where , is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpwstotbnd.y flds s
cnpwstotbnd.d
Assertion
Ref Expression
cnpwstotbnd

Proof of Theorem cnpwstotbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3 Scalarflds s flds Scalarflds s flds
2 eqid 2438 . . 3 Scalarflds s flds Scalarflds s flds
3 eqid 2438 . . 3 flds flds
4 eqid 2438 . . 3 flds flds flds flds flds flds
5 eqid 2438 . . 3 Scalarflds s flds Scalarflds s flds
6 fvex 5696 . . . 4 Scalarflds
76a1i 11 . . 3 Scalarflds
8 simpr 461 . . 3
9 ovex 6111 . . . 4 flds
10 fnconstg 5593 . . . 4 flds flds
119, 10mp1i 12 . . 3 flds
12 eqid 2438 . . 3 Scalarflds s flds Scalarflds s flds
13 cnfldms 20330 . . . . . 6 fld
14 cnex 9355 . . . . . . . 8
1514ssex 4431 . . . . . . 7
1615ad2antrr 725 . . . . . 6
17 ressms 20076 . . . . . 6 fld flds
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . 5 flds
19 eqid 2438 . . . . . 6 flds flds
20 eqid 2438 . . . . . 6 flds flds flds flds flds flds
2119, 20msmet 20007 . . . . 5 flds flds flds flds flds
2218, 21syl 16 . . . 4 flds flds flds flds
239fvconst2 5928 . . . . . . 7 flds flds
2423adantl 466 . . . . . 6 flds flds
2524fveq2d 5690 . . . . 5 flds flds
2624fveq2d 5690 . . . . . 6 flds flds
2726, 26xpeq12d 4860 . . . . 5 flds flds flds flds
2825, 27reseq12d 5106 . . . 4 flds flds flds flds flds flds
2926fveq2d 5690 . . . 4 flds flds
3022, 28, 293eltr4d 2519 . . 3 flds flds flds flds
31 totbndbnd 28641 . . . . . 6 flds flds flds flds flds flds
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 flds flds
33 cnfldbas 17797 . . . . . . . . . . 11 fld
3432, 33ressbas2 14221 . . . . . . . . . 10 flds
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 flds
3635fveq2d 5690 . . . . . . . 8 flds
3722, 36eleqtrrd 2515 . . . . . . 7 flds flds flds
38 eqid 2438 . . . . . . . . 9 flds flds flds flds flds flds
3938bnd2lem 28643 . . . . . . . 8 flds flds flds flds flds flds
4039ex 434 . . . . . . 7 flds flds flds flds flds flds
4137, 40syl 16 . . . . . 6 flds flds flds
4231, 41syl5 32 . . . . 5 flds flds flds
43 eqid 2438 . . . . . . . . 9
4443cntotbnd 28648 . . . . . . . 8
4544a1i 11 . . . . . . 7
4635sseq2d 3379 . . . . . . . . . . . 12 flds
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . 11 flds
48 xpss12 4940 . . . . . . . . . . 11 flds flds flds flds
4947, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 flds flds
50 resabs1 5134 . . . . . . . . . 10 flds flds flds flds flds flds
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9 flds flds flds flds
5216adantr 465 . . . . . . . . . . 11
53 cnfldds 17803 . . . . . . . . . . . 12 fld
5432, 53ressds 14344 . . . . . . . . . . 11 flds
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . 10 flds
5655reseq1d 5104 . . . . . . . . 9 flds
5751, 56eqtr4d 2473 . . . . . . . 8 flds flds flds
5857eleq1d 2504 . . . . . . 7 flds flds flds
5957eleq1d 2504 . . . . . . 7 flds flds flds
6045, 58, 593bitr4d 285 . . . . . 6 flds flds flds flds flds flds
6160ex 434 . . . . 5 flds flds flds flds flds flds
6242, 41, 61pm5.21ndd 354 . . . 4 flds flds flds flds flds flds
6328reseq1d 5104 . . . . 5 flds flds flds flds flds flds
6463eleq1d 2504 . . . 4 flds flds flds flds flds flds
6563eleq1d 2504 . . . 4 flds flds flds flds flds flds
6662, 64, 653bitr4d 285 . . 3 flds flds flds flds flds flds
671, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 30, 66prdsbnd2 28647 . 2 Scalarflds s flds Scalarflds s flds
68 cnpwstotbnd.d . . . 4
69 cnpwstotbnd.y . . . . . . . 8 flds s
70 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalarflds Scalarflds
7169, 70pwsval 14416 . . . . . . 7 flds Scalarflds s flds
729, 8, 71sylancr 663 . . . . . 6 Scalarflds s flds
7372fveq2d 5690 . . . . 5 Scalarflds s flds
7473reseq1d 5104 . . . 4 Scalarflds s flds
7568, 74syl5eq 2482 . . 3 Scalarflds s flds
7675eleq1d 2504 . 2 Scalarflds s flds
7775eleq1d 2504 . 2 Scalarflds s flds
7867, 76, 773bitr4d 285 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  cvv 2967   wss 3323  csn 3872   cxp 4833   cres 4837   ccom 4839   wfn 5408  cfv 5413  (class class class)co 6086  cfn 7302  cc 9272   cmin 9587  cabs 12715  cbs 14166   ↾s cress 14167  Scalarcsca 14233  cds 14239  scprds 14376   s cpws 14377  cme 17777  ℂfldccnfld 17793  cmt 19868  ctotbnd 28618  cbnd 28619 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-gz 13983  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-prds 14378  df-pws 14380  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-xms 19870  df-ms 19871  df-totbnd 28620  df-bnd 28631 This theorem is referenced by:  rrntotbnd  28688
 Copyright terms: Public domain W3C validator