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Theorem cnpval 18845
Description: The set of all functions from topology  J to topology  K that are continuous at a point  P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, J    f, K, x, y    f, X, x, y    P, f, x, y   
f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpfval 18843 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
21fveq1d 5698 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  ( ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
) )
3 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
f `  v )  =  ( f `  P ) )
43eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  (
( f `  v
)  e.  y  <->  ( f `  P )  e.  y ) )
5 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  P  ->  (
v  e.  x  <->  P  e.  x ) )
65anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
76rexbidv 2741 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  ( E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
84, 7imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( v  =  P  ->  (
( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) ) )
98ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( v  =  P  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) ) )
109rabbidv 2969 . . . 4  |-  ( v  =  P  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
12 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
1312rabex 4448 . . . 4  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  e.  _V
1410, 11, 13fvmpt 5779 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  (
( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
152, 14sylan9eq 2495 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( J  CnP  K
) `  P )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
16153impa 1182 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    C_ wss 3333    e. cmpt 4355   "cima 4848   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219  TopOnctopon 18504    CnP ccnp 18834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-top 18508  df-topon 18511  df-cnp 18837
This theorem is referenced by:  iscnp  18846
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