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Theorem cnpval 19863
Description: The set of all functions from topology  J to topology  K that are continuous at a point  P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, J    f, K, x, y    f, X, x, y    P, f, x, y   
f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpfval 19861 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
21fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  ( ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
) )
3 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
f `  v )  =  ( f `  P ) )
43eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  (
( f `  v
)  e.  y  <->  ( f `  P )  e.  y ) )
5 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  P  ->  (
v  e.  x  <->  P  e.  x ) )
65anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
76rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  ( E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
84, 7imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( v  =  P  ->  (
( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) ) )
98ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( v  =  P  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) ) )
109rabbidv 3101 . . . 4  |-  ( v  =  P  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
11 eqid 2457 . . . 4  |-  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
12 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
1312rabex 4607 . . . 4  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  e.  _V
1410, 11, 13fvmpt 5956 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  (
( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
152, 14sylan9eq 2518 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( J  CnP  K
) `  P )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
16153impa 1191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438  TopOnctopon 19521    CnP ccnp 19852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-top 19525  df-topon 19528  df-cnp 19855
This theorem is referenced by:  iscnp  19864
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